Марта 2020
Срок выполнения до 25.03.2020
Выполнить контрольную работу по теме: Многогранники и тела вращения:
1. В куб с ребром 6 см вписан цилиндр. Вычислить площадь полной поверхности цилиндра и объём цилиндра.
2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8 дм, а высота параллелепипеда равна 10 дм. Вычислить площадь полной поверхности и объём параллелепипеда.
3. Образующая равностороннего конуса L = 6см. Найти площадь боковой поверхности.
Тема: Числовая последовательность.
Числовая последовательность.
Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.
Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:
С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число. Тогда говорят, что задана числовая последовательность.
Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.
При этом:
называют первым членом последовательности;
– вторым членом последовательности;
– третьим членом последовательности;
|
|
…
– энным или общим членом последовательности;
…
На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
– последовательность положительных чётных чисел:
Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа. Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:
Последовательность положительных нечётных чисел:
Ещё одна распространённая последовательность:
Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.
На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;
…
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой
Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.
Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до, нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии:. В нашем случае:
Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.
|
|
Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой, где – первый член, а – знаменатель прогрессии. В заданиях по матану первый член частенько равен единице.
Примеры:
прогрессия задаёт последовательность;
прогрессия задаёт последовательность;
прогрессия задаёт последовательность;
прогрессия задаёт последовательность.
Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.
Прогрессию называют бесконечно убывающей, если (последние два случая).
Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:
Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.
А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:
Факториал:
Всего лишь свёрнутая запись произведения:
Разберёмся с последовательностью.
Сначала подставим в энный член значение и внимательно проведём вычисления:
Далее подставим в общий член:
Потом подставим следующий номер:
Четвёрку:
Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:
и так далее… пока разогреется самый последний чайник!