Примеры решения задач по теме «Твёрдое тело»
Уважаемые господа студенты!
При дистанционном обучении на первое место по значимости выходит ваша самостоятельная работа по проработке готовых решений.
При изучении готовых решений происходит освоение и запоминание метода (алгоритма) решений. Это позволяет вам потом самостоятельно решать задачи.
Преподаватель не контролирует столь важную для вас работу. Это дело вашей студенческой чести: самостоятельная работа и самоконтроль.
23. Две гири с массами m 1 = 2 кг и m 2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силы натяжения Т 1 и Т 2 нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.
Решение. В данной задаче гири движутся поступательно с одинаковым ускорением, а блок – вращательно, причем первая гиря будет опускаться (
), а вторая подниматься, как показано на рис. 1.21. В проекции на направления движения гирь и блока уравнения движения тел будут иметь вид
,
,
.
Здесь а и e – ускорение гирь и блока, 
и 
– силы натяжения нити по разные стороны блока, R – радиус блока, 
– момент инерции блока. При движении системы ускорения гирь и блока связаны соотношением 
.
Решая приведенную систему, находим ускорение гирь
= 2,8 м/с2.
Натяжение нитей найдем по формулам
= 14 Н, 
= 12,6 Н.
24. Вдоль наклонной плоскости, составляющей угол 
с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной цилиндр (рис. 1.22). Найти линейное ускорение его центра.
Рис. 1.22
Решение. Способ 1. Считаем, что движение цилиндра складывается из поступательного движения центра масс O и вращения вокруг оси O. Пусть масса цилиндра – 
, а радиус – 
.
Уравнение поступательного движения:
.
Уравнение вращательного движения:
.
В проекциях на направления ускорений:
,
.
Для цилиндра момент инерции, согласно (5), 
. Связь между 
и 
можно установить, найдя точку, которая в данный момент неподвижна. Ускорение точки касания 
складывается из ускорения поступательного движения и ускорения вращательного движения 
, причем оба эти ускорения направлены в противоположные стороны, т. е.
.
Таким образом, мы получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Исключив из уравнений 
, найдем 
.
Ответ: 
.
Способ 2. Рассматриваем движение цилиндра как вращение его вокруг мгновенной оси . Моменты силы трения и силы реакции опоры относительно оси, проходящей через точку , равны нулю.
Уравнение движения цилиндра в этом случае:
,
где 
– момент инерции цилиндра относительно оси .
Согласно теореме Гюйгенса–Штейнера:
.
Таким образом, уравнение движения цилиндра в проекции на направление ускорения запишется как
.
Отсюда
и 
.
Ответ: ; .
Ответы в обоих случаях совпадают и показывают, что ускорение центра масс цилиндра не зависит от его массы и радиуса.
25. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой n 1 = 10 об/мин. Человек массой m 0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n 2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.
Решение. Система «человек – платформа» замкнута, поэтому для нее выполняется закон сохранения момента импульса
, (1)
где 
и 
– моменты инерции платформы с человеком в начальном и конечном положениях, 
и 
– угловые скорости вращения платформы в этих положениях. Напомним, что для вращения вокруг оси момент импульса 
.
Момент инерции системы найдем как сумму моментов инерций ее частей
, 
, (2)
где R – радиус платформы. В центре платформы момент инерции человека равен нулю.
Подставляя (2) в (1) и учитывая, что 
, где n – частота вращения платформы, после преобразований найдем частоту вращения 
платформы
= 22 об/мин.
Скорость платформы увеличивается потому, что уменьшается ее момент инерции. Этот эффект используют фигуристы, акробаты и т.д., группируясь при выполнении кульбитов и поворотов.