Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел (а, b), над множеством которых по определенным правилам можно производить следующие операции: сложение, умножение, деление, возведение в степень результаты которых также являются комплексными числами.

Определение. Алгебраической формой комплексного числа z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Геометрическую интерпретацию комплексного числа впервые дал Карл Гаусс (1832 г.) После этого комплексные числа вошли в математику наравне с действительными и другими числами.

Пусть дано произвольное комплексное число , где a и b – действительные числа, т.е. любое комплексное число однозначно определяется парой действительных чисел.

Таким образом, комплексное число можно записать в виде пары чисел:

- (a, b)

- (b, a)

Это означает, что любому комплексное число мы можем однозначно представить точкой на плоскости, которую будем называть комплексной плоскостью.

Ось ОХ называется действительной осью, ось ОУ – мнимой осью.

Иначе эту точку мы можем задать радиус-вектором, проведенным из начала координат в эту точку, который в свою очередь однозначно определяется своей длиной и углом между радиус-вектором и положительным направлением действительной оси.

Определение. Модулем комплексного числа называется длина радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку, соответствующую данному комплексному числу на плоскости.

Определение. Аргументом комплексного числа называется величина угла между радиус-вектором, изображающим данное комплексное число, и положительным направлением действительной оси, при этом: величина берется положительная, если направление отсчета против часовой стрелки, и отрицательная – если по часовой стрелке.

Замечание. Единственное число, для которого аргумент не определен – это нулевое число.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно с точностью до 2πk.

Определение. Два комплексных числа, изображаемых точкой на плоскости, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на 2πk.

Исходя из полученного на рисунке прямоугольного прямоугольника , получаем: