Тема: Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур.
Задание: изучить теоретические основы темы по конспекту или учебнику (Геометрия. Учебник для 10-11 классов - Атанасян Л.С., стр. 220-225), решить задачи самостоятельной работы и ответить письменно на контрольные вопросы.
Теоретический минимум и задачи
Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием (в черчении говорят «проецированием»).
Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом в пространстве тень от солнечных лучей на Земле.
Сам объект - это прообраз, тень – образ, солнечные лучи – направление параллельного проектирования, земля – плоскость проекций.
Примечание 1. При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции.
Примечание 2. При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, так как получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной фигуры.
Примечание 3. Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным проектированием.
Примечание 4. Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны, то получающееся при этом изображение правильно – равно прообразу!
Параллельное проектирование обладает свойствами:
1) Параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;
AB║CD A’B’║C’D’
2) Отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется;
AB=2CD, то A’B’=2C’D’
3) Линейные размеры плоских фигур (длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение, если фигура параллельна плоскости проекции)
Разберем примеры изображения некоторых плоских фигур:
Разберемся, как построить изображение правильного шестиугольника.
Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D.
Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA.
Значит:
1. Находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K.
2. Откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D. (слайд 18)
Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами.
При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами. Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед.
Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы.
Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить ее с вершинами многоугольника. Полученные отрезки будут изображать боковые ребра пирамиды.
Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований.
Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через нее две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу.
Обратим внимание на тот факт, что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать впечатление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии
В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм (impossibility - невозможность) - изображение невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М.Эшер (1898 – 1972) в гравюрах "Бельведер" (рис. 18), "Водопад" (рис. 19), "Поднимаясь и опускаясь" (рис. 20) изобразил невозможные объекты.
Современный шведский архитектор О. Рутерсвард посвятил невозможным объектам серию своих художественных работ.
Рассмотрим, какие требования предъявляются к изображению, используемому на уроках математики, географии, биологии и т.д.
1. Изображение фигуры должно быть, прежде всего, верным. Это означает, что изображение должно представлять собой одну из проекций изображаемой фигуры или фигуру, подобную проекции. Средством достижения данного требования является использование параллельного проектирования.
2. Кроме того, изображение должно быть наглядным. Это требование означает, что изображение должно вызывать пространственное представление оригинала (изображаемой фигуры) наиболее точно и полно. Для достижения этого требования служат использование штриховых линий, цвета, особое расположение оригинала по отношению к плоскости изображения. Так, например, квадрат может быть верным изображением куба (проектирующая прямая совпадает с ребром куба, а плоскость, параллельная перпендикулярной ему грани куба - плоскость изображения), но вряд ли такое изображение можно признать наглядным.
3. Изображение не должно содержать каких-либо построений, не имеющих отношения к рассматриваемой задаче. На изображении, чертеже должно быть только самое необходимое, т.е. изображение должно быть простым. Понятно, что это отлично от того, что требуется на уроках черчения.
Построение изображения фигуры в педагогическом процессе отличается от тех требований, которые предъявляют к изображению, точнее к чертежу, в технических дисциплинах. Ясно, что при изготовлении какой либо детали требуется, чтобы рабочий абсолютно точно воссоздал оригинал по его чертежу – изображению. Тогда схема построения изображения примерно выглядит так: Дан оригинал – деталь; выбирается определенный проектирующий аппарат, например известная из уроков черчения кабинетная проекция; этими данными изображение вполне определено. Это и означает, что рабочий может воссоздать оригинал.
В педагогическом процессе, напротив, дан не оригинал, а условия, которым он должен удовлетворять; проектирующий аппарат и положение оригинала относительно плоскости проекции остаются неопределенными; в результате и изображение является неопределенным. Но изображение отнюдь не произвольно! И неопределенность не должна нарушить верности!
Какие теоретические положения лежат в основе построения изображений? Перечислим их. Прежде всего, как уже было сказано, это свойства параллельной проекции:
1. проекция прямой есть прямая, проекция отрезка – отрезок;
2. проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;