Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

 

Наряду с дифференциальной системой

 

 

будем рассматривать множество систем

 

 

где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему назовём возмущённой, а добавку возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем и .

Как известно, отражающая функция системы обязана удовлетворять следующему соотношению

 

Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Справедлива [4]

Лемма 3.1. Для любых трёх вектор-функций

имеет место тождество

 

Доказательство.

Будем преобразовывать левую часть тождества

 

Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть есть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции функция

удовлетворяет тождеству

 

Доказательство.

Подставив функцию в выражение , придем к следующим тождествам:

 

 

Выразим из соотношения частную производную , подставим в последнее тождество и будем преобразовывать получившееся выражение:

 

Применив к первым двум слагаемым последней части этой цепочки тождеств тождество придем к следующим соотношениям:

 

 

Выразим из соотношения выражение, находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее из получившихся тождеств:

 

 

Учитывая определение функции , полученное тождество можно переписать в виде

 

 

Мы пришли к соотношению

 

Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение , придем к нужному нам тождеству и тем самым докажем лемму.

Лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущенная дифференциальная система где произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Пусть отражающая функция системы Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что помимо этого уравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству

 

 

С этой целью введем функцию по формуле . Согласно предыдущей лемме, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения это тождество переписывается в виде

 

 

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеют место соотношения

 

 

Поставим следующую задачу Коши для функции :

 

 

Решение этой задачи существует и единственно [6, с.66]. Таким образом, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция дифференциальной системы является также и отражающей функцией дифференциальной системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

 

Последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции , приходим к следующей цепочке тождеств:

 

 

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы верно тождество , второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Следствие3.1. Пусть функции являются решениями дифференциального уравнения в частных производных . Тогда все дифференциальные системы вида

 

где нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе .

Доказательствоследствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 3.1

Замечание 3.1. В [2, с.24] доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальнойсистеме в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция может быть представлена в виде

 

 

где решения уравнения . Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.

 

Стационарный интеграл

 

Рассмотрим систему

 

,

 

с непрерывной в области функцией .

Дифференцируемая функция , заданная в некоторой подобласти области , называется первым интегралом системы в области , если для любого решения , , системы , график которого расположен в функция , , постоянна, т.е. зависит только от выбора решения и не зависит от .

Пусть , есть некоторая функция. Производной от функции в силу системы назовем функцию , определяемую равенством

 

Лемма 4.1. Для любого решения , , системы , график которого расположен в , имеет место тождество

.

 

Доказательство. Действительно,

Лемма 4.2. Дифференцируемая функция , представляет собой первый интеграл системы тогда и только тогда, когда производная в силу системы тождественно в обращается в нуль.

Необходимость. Пусть есть первый интеграл системы . Тогда для любого решения этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

 

откуда при получим равенство справедливое при всех значениях и . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь при всех Тогда для любого решения системы на основании леммы1 будем иметь тождество

 

 

а с ним и достаточность.

Лемма доказана.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на функция также является первым интегралом системы . Первый интеграл будем называть невырожденным на , если при всех выполняется неравенство

 

 

Функцию будем называть стационарным первым интегралом системы , если она не зависит от и является первым интегралом системы .

Теорема 4.1. Для того, чтобы система с раз дифференцируемой по правой частью имела в невырожденный стационарный первый интеграл, необходимо выполнение тождества

 

где , компоненты вектор-функции .

Доказательство. Пусть стационарный первый интеграл системы . Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество

 

 

Это означает, что при каждом фиксированном функции линейно зависимы на интервале их существования. Поэтому вронскиан этих функций (левая часть тождества ) обязан обращаться в нуль.

Теорема доказана.

Выясним условия, при которых система имеет стационарный интеграл. Будем считать, что условия теоремы 4.1 выполнены. Составим систему линейных уравнений относительно неизвестных функций

 

………………………………………….

Теорема 4.2. Для того, чтобы система с раз дифференцируемой по правой частью имела хотя бы один стационарный интеграл , необходимо и достаточно существование такого независящего от решения системы , для которого уравнение Пфаффа

 

интегрируется одним соотношением .

Необходимость. Пусть система имеет стационарный интеграл . Тогда согласно лемме 4.2 должно выполняться тождество . Дифференцируя тождество раз по , убеждаемся в том, что совокупность функций решение системы .

Достаточность. Пусть теперь система имеет не зависящее от решение, для которого уравнение Пфаффа интегрируется одним соотношением . Тогда существует [6] такая функция , для которой

 

 

Поэтому

 

 

так как удовлетворяет первому уравнению системы . Из тождества следует достаточность.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Пусть система имеет линейно независимых при каждом решений

, ,

 

для которых соответствующие уравнения Пфаффа

 

интегрируется с помощью соотношений .

 

Тогда представляют собой независимых стационарных интегралов системы .

Доказательство. Согласно теореме 4.2 функции являются первыми интегралами системы . Покажем, что они независимы. Отметим, что для каждой функции существует функция , для которой

 

 

Поэтому матрица Якоби имеет вид

 

Из линейной независимости векторов , при каждом следует, что при всех ранг матрицы Якоби равен . Поэтому функции , , являются независимыми [7, c.682].

Теорема доказана.

Теорема 4.4. Пусть выполнены все условия теоремы 4.1 и существует некоторое при котором уравнение Пфаффа

не вырождается в тождество и интегрируется одним соотношением . Тогда функция является независимым стационарным первым интегралом системы . Всякий другой стационарный первый интеграл зависит от .

Доказательство. Так как уравнение не вырождается в тождество, то для функций , переменного при фиксированном выполнены все условия примечания к теореме 1 §1 [2, с 13]. На основании этого примечания функции линейно зависимы. Соответствующие коэффициенты могут быть найдены путём разложения по элементам первой строки определителя

 

Эти коэффициенты образуют единственное с точностью до множителя решение системы , которому соответствует уравнение Пфаффа вида . Ссылка на теорему 4.3 завершит доказательство.