Билет 38
Формула Тейлора для ex и её применение в приближенных вычислениях.
Пусть f(x) = ex. Тогда, как мы знаем, f(k)(x) = ex, а потому f(k)(0) = 1, а f(k)(с) = ес.
Подставить всё это в 
или 
(0;x).
Получим формулу Тейлора для показательной функции:
Или в более подробной записи:
Отсюда следует приближённое равенство:
Позволяющее находить значение экспоненты.
Вопрос 37
Формула Тейлора для многочленов.Пусть задана функция f(x) и в некоторой точке “а” нам известны значения её и её первых n производных: f(a), fI(a), fII(a), …, f(n)(a). Мы хотим построить такой многочлен Tn (х) степени n, который в некоторой окрестности точки «а» как можно меньше отличался бы от нашей функции. Для этого мы потребуем, чтобы в точке «а» значения многочлена и его производных совпадали, соответственно, со значениями функции и ее производных.
Итак, построим многочлен Tn(х), удовлетворяющих условиям:
Tn(а) = f(a), TnI(a) = f I(a), TnII(a) = f II(a), …, Tnn(a) = f n(a).
Будем искать Tn(х) в виде
Tn(х)=c0+c1(x-a)+c2(х-a)2+...+Аn(х-a)n
Ясно, что
T'n(х)=c1+2c2(х-a)+3c3(x-a)2+...+ncn(x-a)n-1,
Tn''(х)=2c2+2•3c3(х-a)+...+n(n-1)cn(х-a)n-2,
…………………………………………………..
Tn(n)(х) = n!cn
Подставив в многочлен и его производные x=a, получим
с0 = f(a), с1 = f I(a), 2с2 = f II(a), 3!с3 = f III(a), …, n!сn = f (n)(a).
Отсюда
с0 = f(a), с1 = f I(a), 
, 
, …, 
Такимобразом
Tn(х) = f(a) + f I (a)(x-a) + 
*(x-a)2 + ….. + 
*(x-a)n
Или, в более короткой записать, 
Здесь, как это принято, считается, что f(0) = f(a) и 0! = 1.
Формула Тейлора для функции
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
Как видно на рисунке в точке х = а значение многочлена в точности совпадает со значением функции. Однако, при удалении от точки х = а расхождение значений увеличивается.
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка ε ∈ (a,x), то найдется такое число θ из интервала 0 < θ < 1, что ε = a + θ(x - a).
Тогда можно записать:
*(x-a)n+1
Тогда, если принять a = x0, x - a = Δx, x = x0 + Δx, формулу Тейлора можно записать в виде:
где 0 < θ < 1
Если принять n=0, получим: f(x0 + Δx) - f(x0) = f'(x0 + θΔx)Δx - это выражение называется формулой Лагранжа.
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
Билет 7
Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) <xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn< b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Замечание. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn> b, однако при этом предел a может оказаться равным b
Билет 8
Функция f(x) имеет предел A в точке x0, предельной для области определения функции f(x), если для каждой окрестности предела Aсуществует проколотая окрестность точки x0, образ которой при отображении f(x) является подмножеством заданной окрестности точки A.
Пусть функции f1(x),f2(x),f3(x) имеют общую область задания и f1(x) ≤f2(x) ≤f3(x). Тогда, если при х->c функции f1(x) и f3(x) имеют пределом число L, то и f2(x) имеет при х->с предел L.
Билет 9
Первый замечательный предел.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел: 
называемый первым замечательным. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Док – во:
Возьмём круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. Пусть 0<x< 
.
На рисунке |АМ| = Sinх, дуга МВ численно равна центральному углу х, |BC|= Tgx. Очевидно, имеем 
.
На основании соответствующих формул геометрии получаем 1/2 Sinx< 1/2 x< 1/2 tgx. Разделим неравенства на 1/2 sinx> 0, получим 1 < 
< 
или Cosx< 
< 1. Так как 
и 
, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 
Пусть теперь x< 0. Имеем 
, где –x> 0. Поэтому 
Билет 36
Ассимптоты.
Прямая называется асимптотой графика y=f’(x) если расстояние от тчк. Графика до этой прямой стремится к 0 от начала корд. При неогр. Удалении от начала прямой.
1)Горизонтальная асимптота
горизонтальная асимптота для правой ветви графика.
На горизонтальной асимптоте исследование проводится как для правой ветви, так и для левой
2)Вертикальные асимптоты
Точка бесконечного разрыва
X0-1точка. бесконечного разрыва
; x=x0-вертикальная ассимптота.
3)Наклонная асимптота
dcosα=γ
По усл. Наклонная асимптота kx+b что означает, что γ→0, cosα=const ↔ d→0 при x→+∞
d=f(x)-kx-b=β
Б.м.
(1)
ф-цияотлич. От постоянной «b» на б.м. зн. Ф-ция имеет предел и он равен β
План:
1) Область определения ф-ции и непрерывность; тчк пересечения с осями координат; чётность, нечётность; периодичность.
2) Асимптоты
3) 1-ая производная от искомой тчккритич. на экстремум
4) Исследование на экстремум
5) 2-ая производная от искомойтчк. Крит на перегиб
6) Исследование на перегиб
7) График
Опре. И непрерывна (-∞; +∞)
y(0)=0
верт. Асимптоты нет т.к. нет тчк разрыва асимптота гориз. 
гориз. асимптоты нет.
y=-x+2
| x | (-∞;0) | (0,4) | (4,6) | (6,+∞) | |||
| y’ | - | ∞ | + | - | ∞ | - | |
| y | ↓ | min | ↑ | max | ↓ | ↓ |
Билет
Точки перегиба – точки, разделяющие промежутки с различными направлениями выпуклости. В точках перегиба f’(x) меняет характер монотонности, а f’’меняет знак.
Условия существования
Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x 0, имеет в x 0 точку перегиба, то 
.
Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f (x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и K ≥ 3, и 
при n=2,3, …,k - 1, а 
, то функция f (x) имеет в x 0 точку перегиба.
Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка 
Билет
Исследование направления выпуклости.
Вторая производная. Если производная f ' (x) функции f (x) дифференцируема в точке (x 0), то её производная называется второй производной функции f (x) в точке (x 0), и обозначается f '' (x 0).
Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x 0, f (x 0)), x 0 
(a, b).
Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x 0, f (x 0)), x 0 (a, b).
Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции.
Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:
если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);
если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкойперегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x 0 существует вторая производная f '' (x 0), то f '' (x 0) = 0.
Определение: функция f(x) выпукла вверх (вниз) на промежутке [a,b], если на этом промежутке любая касательная к ее графику лежит не ниже(не выше) графика. Т1:Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вверх, необходимо и достаточно чтобы на этом промежеепроизв убывала. Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вниз, необходимо и достаточно чтобы на этом промежеепроизв возрастала. Т2: Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вверх, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж выполнялось условие f’’(x) ≤0. Чтобы на промеж [a,b] f(x) была выпукла вниз, необходимо и достаточно чтобы на этом промеж выполнялось условие f’’(x) ≥0.
| П р и м е р. | Рассмотрим график функции y = x 3 :
 Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x, но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0при x < 0,следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x <0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3.
|
Вопрос 33
33.1)1-ое достаточное условие экстремума
Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой бета-окрестности крит точки x0 и при переходе через нее(слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума; с минуса на плюс- точка минимума.
2)если в точке х0 первая производная функции f(x) равна нулю,а вторая производная в этой же точке сущ. И отлична от 0, то при второй производной меньше 0 в точке х0 ф-ция имеет максимум
И миниму при второй производной больше 0
Вопрос 32
32.Экстремум- значение функции в точке максимума(минимума).Достаточное условие экстремума-ЕСЛидифферинцируемая ф-ция у=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производная в этой точке равна нулю: f`(x0)=0
Экстремумы, их необходимые и достаточные условия
1 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),
Что для∀x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x).
2 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),
Что для ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие f(x₀)<=f(x).
Теорема о необходимом условии экстремума:
Если дифференцируемая функция f(x) в точке x₀ имеет экстремум, то f’(x)=0.
Это равенство необходимо, но не достаточно для сущ экстремума в точке x₀,
Т.к если при переходе ф-ции через точку x₀ знак производной не поменяется =>
Значит функция продолжает убывать или возростать и в этой точке нет ни min ни max!
Теорема о достаточном условии экстремума:
Если производная f’(x) меняет знак с + на - ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀
ф-цияf(x) имеет max.
Если производная f’(x) меняет знак с - на + ―при переходе через точку x₀, то в точке x₀
ф-цияf(x) имеет min.
Вопрос 30