Задача 1
В сосуде объемом 1 л находится 2 г углекислого газа при температуре 17 0С. Каково давление газа?
Решение
| V=10-3 м3 m=2×10-3 кг Т=290 К Мr=44 | Так как состояние газа не изменяется, то применяем уравнение Клапейрона – Менделеева: 
Все параметры, кроме искомого Р, известны. Выражаем Р: 
Ответ: Р = 1,1×105 Па
|
| Р -? |
При решении задач на газовые законы наиболее часто используются следующие соотношения:
1. Связь абсолютной температуры (Т) с температурой по шкале Цельсия (t): Т = 2737+ t.
2. Связь наиболее часто употребляемых единиц давления:
1 мм ртутного столба = 133,3 Па;
1 атм. = 760 мм рт. ст. » 1,013×105 Па.
3. 1 литр = 1 дм3 = 10-3 м3.
4. «Нормальные условия»: Р0 » 105 Па; Т0 = 273 К.
5. Относительная молекулярная масса «воздуха»: Мr » 29.
Если состояние газа изменяется (т.е. изменяется хотя бы один из трех параметров: P, V или Т), то связь между параметрами начального и конечного состояния осуществляется при помощи объединенного газового закона:
Для данной массы газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре постоянно при любых изменениях, происходящих с газом.
Объединенный газовый закон является следствием уравнения Клапейрона – Менделеева: пусть газ переходит из состояния "1" с параметрами Р1,V1, T1 в состояние "2" с параметрами P2, V2, T2, причем при этом переходе масса газа не изменяется (m = const).
Для каждого состояния можно записать уравнение Клапейрона - Менделеева:
; 
Из уравнения (1): 
; из уравнения (2): 
.
Так как левые части равенств равны, то, приравнивая правые, получаем:
Задача 2
В цилиндре двигателя в начале такта сжатия температура воздуха была 40 0С, а давление 0,8×105 Па. Во время сжатия объем воздуха уменьшился в 15 раз, а давление увеличилось до 3,5×106 Па. Определить температуру сжатого воздуха.
Решение
| Р1=0,8×105 Па Т1=313 К Р2=3,5×106 Па V1 = 15V2 V1=15V2 | Так как параметры газа при переходе из первого состояния во второе изменяются, то для связи между параметрами применяем объединенный газовый закон: |
| T2 -? |
 .
Из него выражаем искомый параметр Т2:
 ,
Ответ: температура сжатого воздуха 913 К
| ||
Изопроцессы. Газовые законы
Из объединенного газового закона можно получить соотношения,
соответствующие частным случаям изменения состояния газа, называемым изопроцессами (когда при изменении состояния, кроме массы газа, остается постоянным один параметр: либо Т, либо Р, либо V).
1. Изотермический процесс
Процесс изменения состояния газа при неизменной температуре (Т=const) называется изотермическим.
 |
Из объединенного газового закона при Т = const получим:
Для данной массы газа при неизменной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная - закон Бойля-Мариотта (Р×V = const).
Изотермический процесс должен осуществляться очень медленно, чтобы успевал пройти теплообмен газа с соприкасающимися с ним телами.
Задача 3
Как изменится давление газа в цилиндре, если поршень медленно опустить на 1/3 высоты цилиндра?
Решение
| Газ под поршнем перешел из состояния "1" с параметрами Р1, V1, Т1 в состояние "2" с параметрами Р2, V2, T2. Так как изменение состояния происходило медленно, то подразумеваем, что температура газа при этом не изменялась (Т = const).
Для этих двух состояний можно применить закон Бойля-Мариотта:
P1V1 = P2V2
V1 = H×S, V2 = h×S =  H×S, где S - площадь основания цилиндра;
 P2 = 1,5Р1
Ответ: давление газа увеличится в 1,5 раза
|
|
 |
Графики зависимостей параметров при T=const называются изотермами. Изотермы в координатных осях P(V), P(T), V(T) имеют вид:
2. Изобарный процесс
Если в процессе изменения состояния газа остается неизменным давление (Р = const), то это изобарный процесс.
Из объединенного газового закона при Р = const (т.е. Р1 = Р2) следует:
Для данной массы газа при постоянном давлении отношение объема газа к абсолютной температуре постоянно - закон Гей-Люссака. Иначе V ~ T (при постоянном давлении объем газа пропорционален его абсолютной температуре).
Задача 4
В цилиндре под поршнем площадью 100 см2 находятся 28 г азота при 00С. На какую высоту поднимется поршень массы 100 кг при нагревании цилиндра до 1000С? Атмосферное давление – нормальное.
Решение
| S = 10-2 м2 m = 2,8×10-2 кг Т1 = 273 К Т2 = 373 К М = 100 кг Р0 = 105 Па Мr = 28 | Давление газа в данной задаче остается без изменения. Для нахождения этого давления запишем условие равновесия поршня:
Отсюда: F = Fатм + Mg
Разделив обе части на S, получим:
Р = Р0 +  ;
Р = 105 +  = 2×105 (Па)
|
| h-? |
Из уравнения Клапейрона-Менделеева для начального состояния выразим объем V1:
Высота поднятия поршня:
Ответ: поршень поднимется на 0,4 м.
|
 |
Графики зависимости между параметрами газа при изобарном процессе называются изобарами:
В координатных осях V(T) из двух изобар, соответствующих одной и той же массе газа, круче располагается та, которая соответствует меньшему давлению.
Для обоснования этого утверждения "зафиксируем" температуру (проведем изотерму, пересекающую обе изобары).
Точки «1» и «2» находятся на одной изотерме. Температура газа в этих точках одинакова, поэтому применим для газа в этих точках закон Бойля-Мариотта:
Р1×V1 = P2×V2
Так как V2 >V1, то для выполнения этого закона необходимо, чтобы выполнялось неравенство: Р2 < Р1. Значит, изобара, проходящая через точку «2», соответствует меньшему давлению, чем изобара, проходящая через точку «1».
Сравнение наклона изобар используется при решении ряда задач, где приходится сравнивать давления газа.
3. Изохорный процесс
Если в процессе изменения состояния газа остается постоянным объем газа (V = const), то такой процесс называется изохорным.
Из объединенного газового закона при V1 = V2 следует:
Для данной массы газа при неизменном объеме отношение давления газа к абсолютной температуре постоянно – закон Шарля. Иначе: P ~ T (при постоянном объеме давление газа пропорционально абсолютной температуре).
Задача 5
В цилиндре под поршнем площадью 30 см2 находится воздух при давлении 2×105 Па и температуре 270С. Какой груз нужно положить на поршень после нагревания воздуха до температуры 500С, чтобы поршень остался на прежнем уровне?
Решение
| S = 3×10-3 м2 Р = 2×105 Па Т1 = 300 К Т2 = 323 К V1 = V2 | Так как объем газа не изменяется, то для связи параметров начального и конечного состояний газа применяем закон Шарля:
Учитывая, что  , получим:
Отсюда: 
Ответ: 4,7 кг.
|
| m -? |
Графики зависимостей параметров газа при изменении его
 |
состояния, когда объем газа не меняется, называются изохорами.
 |
Аналогично утверждение: чем круче расположена изохора в координатных осях Р(Т), тем меньшему объему газа она соответствует:
V2 < V1
 |
Если в некотором сосуде находится смесь различных газов, то давление этой смеси на стенки сосуда определяется законом Дальтона: