Примеры расчёта частотных характеристик цепей

 

Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.4) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Z_вх(jw), Z_вх(w), j_z(w). 2. K(jw), K(w), j_k(w).

Решение. 1) По определению Z_вх(jw)=Ů_1m/ .Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Z_вх(jw)=Ů_1m/Ĭ_1m= Ĭ_1m(Z ₁+ Z ₂)/ Ĭ_1m =(R₁+R₂)+j(X₁+X₂)=R+jX;

Z_вх(w)=[(R₁+R₂)²+(X₁+X₂)²]^1/2; j_z(w)=arctg[(X₁+X₂)/(R₁+R₂)].

2) Используя определение К(jw) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 1.2. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.5), рассчитать ее частотные характеристики:

1. Z_вх(jw), Z_вх(w), j_z(w). 2.K(jw), K(w), j_k(w).

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Z_вх(jw)=Ů_1m/ .Входное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований. Этот методсостоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.1.6.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения K_u(jw)=Ů_2m/Ů_1m, а Ů_2m=Z₄Ĭ₂ – находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти Ĭ₂. Находим Ĭ₂ методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: N_k=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток I₁, I₂ и составим уравнения по методу контурных токов.

Z₁₁Ĭ₁+Z₁₂Ĭ₂=E₁₁

Z₂₁Ĭ₁+Z₂₂Ĭ₂=E₂₂ ,

где: Z₁₁ – собственное сопротивление первого контура, Z₁₁=Z₁+Z₂;

Z₁₂ и Z₂₁ сопротивление смежных контуров, Z₁₂= Z₂₁= - Z₂;

Z₂₂-собственное сопротивление II контура. Z₂₂=Z₂+Z₃+Z₄;

E₁₁-алгебраическая сумма источников ЭДС I-ого контура, E₁₁=U_1m;

E₂₂- алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, E₂₂=0. Найдем I₂- ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

 

Покажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U_2m метод узловых потенциалов. Для этого:

· преобразуем исходную схему к виду показанному на рис.1.7, заменив источник эдс на источник тока;

· потенциал узла 0 примем равным нулю, j₀=0;

· тогда Ů_2m=j₂ - j₀= j_2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно j₂, по методу Крамера:

Y₁₁j₁+ Y₁₂j₂=I₁₁

Y₂₁j₁+ Y₂₂j₂=I₂₂,

где: Y_{11 –} собственная проводимость первого узла, Y₁₁=(1/Z₁)+(1/Z₂)+(1/Z₃);

Y₁₂ и Y₁₂ – межузловая проводимость Y₁₂= Y₂₁= - 1/Z₃; =-1/Z₃;

Y₂₂ - собственная проводимость первого узла Y₂₂=(1/Z₃) +(1/Z₄);

j_1, j₂ – потенциалы первого и второго узлов;

I_11, I₁₁ – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

K_u(jw)=Ů_2m/Ů_1m =Z₂Z₄/(Z₂Z₄+Z₂Z₃+Z₁Z₂+Z₁Z₃+Z₁Z₄).

Пример 1.3. Для цепи изображенной на рис.1.8 рассчитать:

1. zвх(jw), z(w), j_z(w).

2. K_U(jw), K(w), j_K(w).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.1.4.

Используя, определение z_вх(jw) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ для z_вх(jw) и построим их графики (рис.9), подсчитав значения при w=0, w=¥.

; Zвх(0) = ¥. Zвх(¥) = R.

j_z(w)= -arctg , j_z(0)=-p/2, j_z(¥)=0.

Используя, определение K_U(jw) получим его выражение K_u(jw)= = = = .

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (jw) и построим их графики (рис.1.10), подсчитав значения при w=0, w=¥.

Вспомним, что z= = где: тогда,

Ku(0)=1; Ku(¥)=0.

 

Отсюда следует: φ_к(¥)= π/2, φ_к(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku(¥)=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения . Рассчитаем ее для нашего примера:

, w_грRC=1 Þ .

Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.

Найдем комплексную функцию входного сопротивления, а также ее АЧХ и ФЧХ и построим графики (рис.1.12).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения (рис.1.4). Далее, по аналогии с предыдущем, найдем интересующие нас частотные зависимости:

; , z(0)=R; z(¥)=¥.

,,j_z(0)=0,j_z(¥)=p/2.

Получим выражения для K_U(jw), K_U(w), j_k(ω).

, K_u(0)=0, K_u(¥)=1.

Графики зависимостей K_U(w), j_k(ω) приведены на рис.1.13.

j_k(0)=-p/2; j_k(¥)=0.

Эта цепь, пропускающая сигналы высоких частот и подавляющая сигналы низких частот называется фильтром высоких частот (ФВЧ).

Определим граничную частоту. По определению . Отсюда:

.

Пример 1.5. Для цепи (рис.1.14) определить комплексную функцию входного сопротивления Z_вх(jw), ее АЧХ - Z_вх(w) и ФЧХ - j₂(w).

Дано: R₁=1кОм R₂=2кОм; R₃=2кОм; C=1мкФ; L=10^-2Гн.

Решение. Комплексную функцию входного сопротивления находим методом эквивалентных преобразований, перейдя к комплексной схеме замещения (рис.1.5).

На первом этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение элементов L и R₃. Получим выражение для их комплексного сопротивления Z ₃₄=jwL+R₃.

На втором этапе преобразуем участок цепи, состоящий из параллельно соединенных элементов R₂ и Z ₃₄. Получим .

На третьем, заключительном, этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение ветви Z₁, состоящей из последовательного соединения R₁ и C и участка цепи с сопротивлением Z ₂₃₄. Получим

.

Запишем полученное выражение в алгебраической форме:

.

Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.

Качественный анализ схемы показывает, что при w=0, т.к. X_с=¥ - входное сопротивление - равно бесконечности, а при w®¥, т.к. X_C=0, X_L=¥, входное сопротивление равно R₁+R₂. Это совпадает с расчетом по полученным выражениям, что подтверждает их правильность.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.15 и 1.16). При этом значение частоты взято в логарифмическом масштабе т.е. lg w.

Пример 1.6. Для цепи (рис.1.14), используя метод контурных токов, вывести выражения для комплексной функции коэффициента передачи напряжений K_u(jw) (его АЧХ - K_u(w) и ФЧХ - j_k(w)) и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение. Топологический анализ показывает: число узлов n_у=2, число ветвей n_в=3. Отсюда число независимых контуров N_в=n_у-n_в+1=3-2+1=2. Выбираем направление обхода контуров, как правило, по часовой стрелке. Вводим обозначения и направления контурных токов и , как показано на рис. 1.14.

Для нахождения используя МКА необходимо найти ток ( =R₃ ). Система уравнений, составленная по методу контурных токов, имеет вид:

Решая систему по методу Крамера относительно тока , получаем:

.

Отсюда выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения имеет вид:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

;

.

Качественный анализ схемы показывает, что при w=0, т. к. X_C(w=0)®¥, то U_2m=0, т.е. K_u(0)=0. При w=¥, X_L(w=¥)®¥, а потому U_2m=0, т.е. K_u(¥)=0. Это ты совпадает с расчетом по полученным выражениям для АЧХ, что подтверждает правильность проведенных расчетов.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.17 и 1.18). При этом значения частоты взяты в логарифмическом масштабе, т.е. lgw.

Пример 1.7. Решить пример 1.6 методом узловых потенциалов.

Решение. Схема содержит три узла (n_у=3). Пронумеруем узлы и введем их обозначения (рис.1.14). Для нахождения U_2m необходимо определить j₂=U_2m. Система уравнений, для нахождения j₂, составленная по методу узловых потенциалов, имеет вид:

где , .

Решая эту систему относительно j ₂ по методу Крамера, получим:

.

Отсюда, после подстановок, получим выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

,

 

.

Сопоставляя результаты расчета в данном примере с результатами предыдущего примера, видим их полное совпадение. Это подтверждает правильность наших расчетов.

Раздел 2