Для задания опций вычислительных алгоритмов, использующихся для подбора параметров служит кнопка < Fit options> диалогового окна Fitting. После нажатия на эту кнопку появляется диалоговое окно, в заголовке которого написано Fit options for и далее указано имя параметрической модели.
В зависимости от типа выбранной параметрической модели состав этого окна может быть различным.
Для сплайновой интерполяции и сглаживающего сплайна это окно не содержит никаких элементов управления, поскольку дополнительных опций соответствующие алгоритмы не требуют. Для линейных моделей можно задавать выбор целевой функции (об этом написано чуть ниже) и границы для искомых коэффициентов.
Для других типов параметрических моделей диалоговое окно Fit options for выглядит следующим образом (Рис. 23)
Рис. 23 Диалоговое окно Fit options
для задания опций
вычислительных алгоритмов
| Вверху окна в области Method выводится информация о том, используется ли линейный (LinearLeastSquares) или нелинейный метод наименьших квадратов (NonlinearLeast Squares), что зависит от того, линейно или нелинейно входят параметры в выбранную параметрическую модель.
Раскрывающийся список Robust содержит четыре возможные опции On, Off, LAR и Bisquare и служит для выбора метода приближения, устойчивого к выбросам в данных. Искомые значения параметров,. a1,a2..,ak определяются как решение задачи минимизации суммы квадратов невязок, т.е. суммы квадратов расстояний от точек данных (xj,yj) j=1,2,...,n до приближающей их кривой y (xj; a1, a2,...,ak):
Если данные (xj,yj) j=1,2,...,n снабжены весами (wj) j=1,2,...,n то решается следующая задача минимизации (если веса не заданы, то
|
по умолчанию они считаются равными единице).
Если имеется выброс в данных, причем соответствующий вес не задан достаточно маленьким, то он может существенно ухудшить приближение, например на следующем графике (Рис. 24) приведены данные с одним выбросом, приближаемые полиномом первой степени (линейная регрессия). Данные без выброса сгенерированы следующим образом
>> xx=1:10;
>> yy=2*xx+3+randn(size(xx));
Коэффициенты линейной функции находятся из условия минимума суммы квадратов невязок, все веса равны единице.
Рис. 24 Результат приближения данных, при отсутствии явных выбросов
Выброс в девятой точке равный нулю сделаем переприсвоением значения элемента массива
>> yy(9)=0;
При этом не будем указывать вес этой точке.
Выброс оказывает такое сильное влияние (Рис. 25), поскольку невязка в минимизируемом выражении возводится в квадрат.
Рис. 25 Результат приближения данных, при наличии явного выброса
в режиме минимизации суммы квадратов невязок (Off)
Одним из способов уменьшения влияния выбросов на качество получаемого приближения состоит в минимизации суммы не квадратов невязок, а их модулей. Для этого служит опция LAR (least absolute residuals). После выбора LAR в раскрывающемся списке Robust диалогового окна Fit options и снова провести линейную регрессию, то мы увидим, что выброс в данных намного меньше влияет на получающееся приближение линейной функцией (Рис. 26). С другими типами параметрических моделей дело будет обстоять аналогичным образом.
Рис. 26 Результат приближения данных, при наличии явного выброса
в режиме минимизации суммы квадратов модулей невязок (LAR)
Зададим веса всем данным равные единице, кроме выброса, а для выброса установим вес 0.1:
>> w=ones(size(xx));
>> w(9)=0.1;
Снова приблизим данные линейной параметрической моделью, только теперь следует импортировать их заново в приложение cftool, нажав кнопку Data в основном окне приложения и выбрав массивы xx, yx и w в раскрывающихся списках X Data, Y Data и Weights, соответственно. Перед началом подбора параметров выберем метод наименьших квадратов, для чего следует нажать кнопку Fit options и установить опцию Off в раскрывающемся списке Robust. Получающееся приближение приведено на Рис. 27. Заметно, что выброс практически не оказывает влияния на приближение.
Рис. 27 Результат приближения данных с выбросом линейной моделью
по методу наименьших квадратов с весами. Выброс имеет маленький вес
по сравнению с весами для остальных данных.
В этом примере можно было назначить точке, в которой есть заметный выброс, нулевой вес, или же воспользоваться предварительной обработкой данных для исключения выбросов (см. раздел Предварительная обработка данных). Однако, в практических задачах не всегда удается так просто определить выбросы или точки данных, которые должны оказывать меньшее влияние на получающееся приближение и назначить им соответствующие веса. Вместо этого можно воспользоваться адаптивным алгоритмом, который последовательно:
1. делает приближение, подбирая параметры по методу наименьших квадратов;
2. вычисляются приведенные невязки (см. более подробно в справочной системе по Curve Fitting Toolbox раздел Fitting Data: Parametric Fitting: The Least Squares Fitting Method);
3. в зависимости от удаленности точек от приближающей их кривой данным назначаются веса по следующему правилу (чем дальше точка, тем меньше ее вес):
4. если веса достаточно сильно изменились, то переходим к п. 1), а если процесс сошелся, то останавливаем алгоритм, нужное приближение построено.
Поскольку в приведенном выше адаптивном алгоритме присутствует четвертая степень невязки, то он называется Bisquare weights (биквадратные веса). Для выбора такого способа приближения параметрической моделью следует установить опцию Bisquare в раскрывающемся списке Robust диалогового окна Fit options. Разумеется, если пользователь задал данные и некоторые начальные веса, то они изменятся. Результирующий вес для каждой точки будет являться произведением исходного веса на тот, который вычисляет алгоритм Bisquare weights.
Результат приближения данных с выбросом линейной параметрической моделью при помощи алгоритма Bisquare weights с автоматическим подбором весов для уменьшения влияния выбросов в данных на получаемое приближение приведен на Рис. 28.
Рис. 27 Результат приближения данных с выбросом линейной моделью
по методу наименьших квадратов адаптивным алгоритмом (Bisquare).
Следующие опции в диалоговом окне Fit options служат для настройки алгоритмов минимизации целевой функции (в общем случае взвешенной суммы квадратов или модулей невязки.
MaxFunEvals - максимальное количество вычислений минимизируемой функции (для предотвращения зацикливания), по умолчанию минимизируемая функция вычисляется не более 600 раз, после чего алгоритм минимизации останавливается.
MaxIter - максимальное число итераций алгоритма минимизации (для предотвращения зацикливания), по умолчанию делается не более 400 итераций, после чего алгоритм минимизации останавливается.
TolFun - точность по функции (для завершения итерационного алгоритма), по умолчанию 1.0Е-6, при достижении этой точности алгоритм минимизации останавливается.
TolX - точность по искомым параметрам (для завершения итерационного алгоритма), по умолчанию 1.0Е-6, при достижении этой точности алгоритм минимизации останавливается.
DiffMinChange - минимальный шаг по каждой из искомых переменных (параметров модели) для вычисления приближенного вычисления частных производных (используемых в алгоритмах минимизации) при помощи конечных разностей, по умолчанию 1.0Е-8.
DiffMaxChange - минимальный шаг по каждой из искомых переменных (параметров модели) для вычисления приближенного вычисления частных производных (используемых в алгоритмах минимизации) при помощи конечных разностей, по умолчанию 0.1.
В диалоговом окне Fit options также можно задавать границы для разыскиваемых параметров параметрической модели и начальные приближения. Для стандартных и пользовательских параметрических моделей предлагаются по умолчанию (там где это нужно, в зависимости от типа параметрической модели) следующие границы параметров и начальные приближения.