Выполнение лабораторной работы.

Лабораторная работа №

 

Определение гравитационной постоянной с помощью математического маятника.

Цель работы: измерить значение гравитационной постоянной, используя математический маятник.

Приборы и принадлежности масштабная линейка, секундомер и математический маятник.

Польский астроном Н.Коперник впервые обосновал гелиоцентрическую систему, согласно которой движение небесных тел вокруг Солнца объясняется гравитационным притяжением Солнца.

Немецкий астроном Кеплер к началу XVII столетия, воспользовавшись многолетними систематическими наблюдениями датского ученого Т. Браге, сформулировал законы движения планет:

Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Впоследствии английский ученый И. Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера и законов динамики открыл закон всемирного тяготения:

Между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс данных точек и и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

 

 

(1)

где F - сила всемирного тяготения,

G - гравитационная постоянная.

 

Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки, т.е. для тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними.

Закон справедлив также для взаимодействия шаров и взаимодействия большого шара с малым телом. При этом под следует понимать расстояние между центрами шаров. Коэффициент Нм²/кг² был определен экспериментально и назван гравитационной постоянной. Согласно формуле (1), физический смысл гравитационной постоянной заключается в том, что она равна выраженной в ньютонах силе тяготения между двумя точечными массами по 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга.

Из формулы (1) следует, что силы тяготения (гравитационные силы) огромны для небесных тел и ничтожны для микрочастиц. Так, сила тяготения между Землей и Луной имеет порядок 10²⁰ Н, а между двумя почти соприка­сающимися см молекулами кислорода - Н.

Притяжение между телами осуществляется через пространство, которое, казалось бы, не заполнено никакой материальной средой. Однако такое представление привело бы к идеализму — к необходимости приписать осуществление взаимодействия между телами некоему духовному началу. Согласно материалистической философии, взаимодействие между материальными телами может осуществ­ляться только материальным посредником. В данном случае таким посредником является гравитационное поле (поле силы тяготения). Гравитационное поле — это особый вид материи, посредством которого осуществляется взаимное притяжение тел. Формально гравитационное поле можно определить как пространство, в котором действуют гравитационные силы.

Однако при этом надо отчетливо представлять, что поле материально.

Все сказанное полностью относится и к другому виду взаимодействия через пространство — к электромагнитному взаимодействию. Вообще современная физика считает, что существуют

два вида материи: вещество и поле. Свойства поля существенно отличаются от свойств вещества. Если вещество подвержено действию некоторого поля, то и само оно способно создавать такое поле. Поэтому всякое взаимодействие тел через пространство можно схематически представить следующим образом: первое тело создает поле, которое действует на второе тело; в свою очередь второе тело действует своим полем на первое тело. Взаимоотношения поля с веществом (частицами) исследованы еще не достаточно. Изучение этих взаимоотношений составляет одну из важнейших проблем современной физики.

Возвращаясь к закону всемирного тяготения и применяя его к случаю взаимодействия земного шара с телами, расположенными вблизи земной поверхности, получим:

(2)

где М —масса Земли, R — ее радиус, т —масса тела, h —его вы­сота над земной поверхностью. Так как R » h, то выражение силы тяготения тел к Земле можно представить в виде

(3)

С другой стороны,

(4)

где - ускорение свободного падения тел вблизи земной поверхности.

Из формулы (3) и (4) следует, что

(5)

так как G, M и R —постоянные величины. Таким образом, из закона всемирного тяготения следует, что вблизи Земли все тела падают с одинаковым ускорением g = 9,81 м/с².

Введение понятий сил инерции упрощает и делает более наглядным решение целого ряда вопросов и задач о движении тел в и дает возможность получения уточненного выражения веса тела и ускорения свободного падения.

(6)

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести.

Вес тела равен силе, с которой неподвижное относительно Земли и находящееся в пустоте тело давит на горизонтальную опору или растягивает пружину вследствие притяжения к Земле.

Таким образом, вес тела равен силе тяжести; поэтому мы зачастую будем пользоваться этими терминами как равнозначными. Если бы Земля не имела суточного вращения, то вес тела был бы равен силе тяготения тела к Земле, определяемой по формуле (3). Благодаря суточному вращению Земли (в котором участвуют и все земные тела) на тело М, лежащее на земной поверхности, кроме силы тяготения F, направленной по радиусу R к центру О Земли, действует центробежная сила инерции F_ц.и направленная по линии продолжения радиуса от оси вращения Земли (рис.2). Раз­ложим F_ц.и, на две составляющие: F^’_ц.и- в направлении радиуса R и F^’’ _ц.и —в направлении, перпендикулярном R. Составляющая F^’_ц.и уравновешивается силой трения о земную поверхность; составляю­щая F^’’ _ц.и противодействует силе тяготения тела к Земле. Поэтому сила притяжения тела к Земле, т. е. вес Р тела выразится разностью силы тяготения F и составляющей центробежной силы инерции F^’_ц.и

— географическая широта мес­тонахождения тела. Учитывая формулы (3) и (6), получим

 

где т — масса тела, М — масса Зем­ли, = 7,3 10⁵ рад/с — угловая скорость суточного вращения Земли. Но , поэтому

Рис. 2.

(7)

 

Из формулы (7) следует, что вес тела зависит от широты места: уменьшается от полюса к экватору благодаря увеличению в этом направлении и R.

На полюсе

, на экваторе

Так как ускорение свободного падения g = Р/т, то

(8)

Следовательно, ускорение свободного падени я также уменьша­ется от полюса к экватору, в связи с увеличением радиуса R Земли и с увеличением географической широты местности. Правда, это уменьшение столь мало (не превышает 0,5%), что во многих практических расчетах его не учитывают.

С помощью сил инерции можно объяснить состояние невесомости. Тело, подверженное этому состоянию, не оказывает давле­ния на опоры, даже находясь в соприкосновении с ними; при этом тело не испытывает деформации.

 

Состояние невесомости наступает в случае, когда на тело действует только сила тяготения, т. е. когда тело свободно движется в поле тяготения.

Строго говоря, благодаря вращению Земли вокруг своей оси ускорение g не является постоянным, а несколько изменяется в зависимости от широты и высоты места (приведенное значение g соответствует широте 45° на уровне моря). В этой связи оказывается переменной величиной и сила тяжести.

Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного

тяготения для земных тел, а также количественное определение гравитационной постоянной проведено английским физиком

Г. Кавендишем (1798 г.). Эксперимент проводился с помощью крутильных весов, состоящих из двух коромысел рис 1.

 

Рис.1 Крутильные весы.

Легкое коромысло А с двумя одинаковыми шариками массой т=729 г. подвешивается на упругой нити В. На другом коромысле С укреплены на той же высоте массивные шары массой M=58 кг. Поворачивая коромысло с тяжелыми шарами вокруг вертикальной оси, можно менять расстояние между легкими и тяжелыми шарами. Под действием пары сил, приложенных шарам массой т со стороны шаров массой М, легкое коромысло А поворачивается в горизонтальной плоскости, закручивая нить подвеса В до тех пор, пока момент силы упругости не уравновешивается с моментом сил тяготения. Зная упругие свойства нити, по измеренному углу поворота можно найти возникающие силы притяжения шаров,

а так как их масса известна, то и вычислить значение гравитационной постоянной.

Сила всемирного тяготения является мерой гравитационного взаимодействия - одного из четырех основных фундаментальных взаимодействий. Для гравитационного взаимодействия присуща универсальность она проявляется между всеми материальными объектами.

Гравитационное взаимодействие можно описать с помощью гравитационного поля. В классической физике оно подчиняется закону всемирного тяготения.

Гравитационную постоянную можно определить, измеряя период колебаний математического маятника и его длину при известных значениях радиуса Земли R и ее массы М.

Математический маятник - это идеализированная система, состоящая из материальной точки т, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити.

Математический маятник совершает колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Период колебаний можно определить по циклической частоте.

(9)

Колебания при небольшом отклонении материальной точки от положения равновесия называются малыми колебаниями. При этом период этих колебаний математического маятника.

(10)

где - длина маятника.

Решая совместно (4), (5) и (10) можно найти выражение для приближенного вычисления гравитационной постоянной.

(11)

Выполнение лабораторной работы.

Для выполнения лабораторной работы используется масштабная линейка и секундомер.

Сначала устанавливается максимальная длина математического маятника, которая соответствует верхнему фиксированному положению конца нити. Затем линейкой измеряется длина математического маятника l от точки подвеса до центра тяжести подвешенного груза. Измерения проводятся десять раз и результаты заносятся в таблицу 1. Далее, отклонив маятник на 10-12 делений, отпускают и при этом измеряют время t 20 полных колебаний (N=20). Измерения также проводятся в десять раз и результаты записываются в таблицу 1.

Таблица 1.

№	,мм	,мм	,с	,с	, с	, с
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.