Если близко один к другому расположены проводники с токами одного направления, то магнитные линии этих проводников, охватывающие оба проводника, обладая свойством продольного натяжения и стремясь сократиться, будут заставлять проводники притягиваться (рис. 90, а).
Магнитные линии двух проводников с токами разных направлений в пространстве между проводниками направлены в одну сторону. Магнитные линии, имеющие одинаковое направление, будут взаимно отталкиваться. Поэтому проводники с токами противоположного направления отталкиваются один от другого (рис. 90, б).
Рассмотрим взаимодействие двух параллельных проводников с токами, расположенными на расстоянии а один от другого. Пусть длина проводников равна l.
Магнитная индукция, созданная током I1 на линии расположения второго проводника, равна
На второй проводник будет действовать электромагнитная сила
Магнитная индукция, созданная током I2 на линии расположения первого проводника, будет равна
и на первый проводник действует электромагнитная сила
равная по величине силе F2
Силу, действующую со стороны магнитного поля на движущиеся в нем заряды, называют силой Лоренца.
Сила Лоренца определяется соотношением:
Fл = q·V·B·sina
где q - величина движущегося заряда;
V - модуль его скорости;
B - модуль вектора индукции магнитного поля;
a - угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.
Обратите внимание, что сила Лоренца перпендикулярна скорости и поэтому она не совершает работы, не изменяет модуль скорости заряда и его кинетической энергии. Но направление скорости изменяется непрерывно
Сила Лоренца перпендикулярна векторам В и v, и её направление определяется с помощью того же правила левой руки, что и направление силы Ампера: если левую руку расположить так, чтобы составляющая магнитной индукции В, перпендикулярная скорости заряда, входила в ладонь, а четыре пальца были направлены по движению положительного заряда (против движения отрицательного), то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление действующей на заряд силы Лоренца F л.
Сила Лоренца зависит от модулей скорости частицы и индукции магнитного поля. Эта сила перпендикулярна скорости и, следовательно, определяет центростремительное ускорение частицы. Частица равномерно движется по окружности радиуса r
Эффе́кт Хо́лла — явление возникновения поперечной разности потенциалов (называемой также холловским напряжением) при помещении проводника с постоянным током в магнитное поле. Открыт Эдвином Холлом в 1879 году в тонких пластинках золота.
В простейшем рассмотрении эффект Холла выглядит следующим образом. Пусть через металлический брус в слабом магнитном поле B течёт электрический ток под действием напряжённости E. Магнитное поле будет отклонять носители заряда (для определённости электроны) от их движения вдоль или против электрического поля к одной из граней бруса. При этом критерием малости будет служить условие, что при этом электрон не начнёт двигаться по циклоиде.
Таким образом, сила Лоренца приведёт к накоплению отрицательного заряда возле одной грани бруска и положительного возле противоположной. Накопление заряда будет продолжаться до тех пор, пока возникшее электрическое поле зарядов E1 не скомпенсирует магнитную составляющую силы Лоренца:
Скорость электронов v можно выразить через плотность тока: 
где n — концентрация носителей заряда. Тогда
Коэффициент 
пропорциональности между E1 и jB называется коэффициентом (или константой) Холла. В таком приближении знак постоянной Холла зависит от знака носителей заряда, что позволяет определять их тип для большого числа металлов. Для некоторых металлов (например, таких, как алюминий, цинк, железо, кобальт), в сильных полях наблюдается положительный знак RH, что объясняется в полуклассической и квантовой теориях твёрдого тела.
Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока через него.
Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем в 1831 году. Он обнаружил, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина э.д.с. не зависит от того, что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический ток, вызванный этой э.д.с., называется индукционным током.
Закон Фарадея
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея:
Где 
—электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно выбранного контура,
— магнитный поток через поверхность, натянутую на этот контур.
Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца,
Правило Ленца, правило для определения направления индукционного тока: Индукционный ток, возникающий при относительном движении проводящего контура и источника магнитного поля, всегда имеет такое направление, что его собственный магнитный поток компенсирует изменения внешнего магнитного потока, вызвавшего этот ток. Сформулировано в 1833 г. Э. Х. Ленцем.
Если ток увеличивается, то и магнитный поток увеличивается.
Если 
индукционный ток направлен против основного тока.
Если 
индукционный ток направлен в том же направлении,что и основной ток.
Индукционный ток всегда направлен так, чтобы уменьшить действие причины его вызывающей.
Для катушки, находящейся в переменном магнитном поле, закон Фарадея можно записать следующим образом:
Где 
— электродвижущая сила,
— число витков,
— магнитный поток через один виток,
— потокосцепление катушки.
Векторная форма
В дифференциальной форме закон Фарадея можно записать в следующем виде:
Самоиндукция — явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении тока, протекающего через контур.
При изменении тока в контуре меняется магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, изменение потока магнитной индукции приводит к возбуждению ЭДС самоиндукции. Направление ЭДС оказывается таким, что при увеличении тока в цепи ЭДС препятствует возрастанию тока, а при уменьшении тока — убыванию.
Величина ЭДС пропорциональна скорости изменения силы тока I и индуктивности контура L:
.
За счёт явления самоиндукции в электрической цепи с источником ЭДС при замыкании цепи ток устанавливается не мгновенно, а через какое-то время. Аналогичные процессы происходят и при размыкании цепи, при этом величина ЭДС самоиндукции может значительно превышать ЭДС источника.
Индуктивность соленоида
Соленоид — длинная, тонкая катушка, то есть катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр. При этих условиях и без использования магнитного материала плотность магнитного потока B внутри катушки является фактически постоянной и равна
где μ0 − проницаемость вакуума, N − число витков, i − ток и l − длина катушки. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим, что потокосцепление через катушку равно плотности потока B, умноженному на площадь поперечного сечения S и число витков N:
Отсюда следует формула для индуктивности соленоида
Энергии магнитного поля
Приращение плотности энергии магнитного поля равно:
В изотропном линейном магнетике:
где: μ — относительная магнитная проницаемость
В вакууме μ = 1 и:
Энергию магнитного поля в катушке индуктивности можно найти по формуле:
где:
Φ — магнитный поток,
I — ток,
L — индуктивность катушки или витка с током.
Токи смещения
Для описания и объяснения «прохождения» переменного тока через конденсатор (разрыв по постоянному току) Максвелл ввёл понятие тока смещения.
Ток смещения существует и в проводниках по которым течёт переменный ток проводимости, однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения подтверждено экспериментально советским физиком А. А. Эйхенвальдом, изучившим магнитное поле тока поляризации, который является частью тока смещения. В общем случае, токи проводимости и смещения в пространстве не разделены, они находятся в одном и том же объеме. Поэтому Максвелл ввёл понятие полного тока, равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока:
Для различия ток проводимости и ток смещения принято обозначать разными символами - i и j.
В диэлектрике (например, в диэлектрике конденсатора) и в вакууме нет токов проводимости. Поэтому уравнение Максвелла пишется так -
Этим восстанавливается историческая справедливость Максвелла, когда он определил, что свет есть электромагнитная волна с векторами Н и Е -
Уравне́ния Ма́ксвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли важную роль в появлении специальной теории относительности
Дифференциальная форма
Закон Гаусса
Электрический заряд является источником электрической индукции. Закон Гаусса для магнитного поля
Не существует магнитных зарядов.[~ 1] Закон индукции Фарадея
Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1] Закон Ампера — Максвелла
Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
-
— плотность стороннего электрического заряда -
— плотность электрического тока -
— скорость зарядов в данной точке; -
— скорость света -
— напряжённость электрического поля -
— напряжённость магнитного поля -
— электрическая индукция -
— магнитная индукция -
— дифференциальный оператор набла, при этом:
Интегральная форма
При помощи формул Остроградского—Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:
Закон Гаусса
Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s. Закон Гаусса для магнитного поля
Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют). Закон индукции Фарадея
Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s. Закон Ампера — Максвелла
Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
— двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объем 
, и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур 
).
— электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью
— электрический ток, проходящий через поверхность
Материальные уравнения
Материальные уравнения устанавливают связь между 
и 
. При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин
Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.
Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе
,
,
где 
— единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2, 
— плотность поверхностных токов вдоль границы. Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).
Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:
,
де 
— поверхностная плотность зарядов.
Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).
Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:
,
Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:
,
,
,
Синусоидальный ток, переменный ток, являющийся синусоидальной функцией времени вида: i = Im sin (wt + j), где i - мгновенное значение тока, Im - его амплитуда, w - угловая частота, j - начальная фаза. Т. к. синусоидальная функция имеет себе подобную производную, то во всех частях линейной цепи Синусоидальный ток напряжения, токи и индуцируемые эдс также являются синусоидальными. Целесообразность применения Синусоидальный ток в технике связана с упрощением электрических устройств и цепей (как и их расчётов).