КОМПЛЕКТ ТЕСТОВ
по дисциплине
Действительный анализ
Направление подготовки: 02.03.01 «Математика и компьютерные науки»
Профиль подготовки: «Математическое и компьютерное моделирование»
Форма обучения: очная
Тула 2018 г.
Тесты подготовлены зав. каф. ПМиИ В.И. Ивановым и обсуждены на заседании кафедры ПМиИ института прикладной математики и компьютерных наук,
протокол № 8 от 22.05.2018г.
Зав. кафедрой ___________________ В.И. Иванов
Тесты пересмотрены и утверждены на заседании кафедры ПМиИ института прикладной математики и компьютерных наук,
протокол № от «» 20_ г.
Зав. кафедрой ___________________ В.И. Иванов
1. Множество всех последовательностей из 1 и 2
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
2. Граница множества рациональных чисел 
есть
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
3. Множество всех матриц с элементами 0 или 1
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
4. Граница множества целых неотрицательных чисел 
есть
1) 
, 2) , 3) 
, 4)
5. Множество всех отрезков на прямой с рациональными концами
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
6. Граница множества натуральных чисел 
есть
1) 
, 2) , 3) 
, 4) 
7. Множество всех алгебраических чисел
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
8. Граница множества неотрицательных рациональных чисел 
есть
1) 
, 2) , 3) 
, 4)
9. Множество всех функций на прямой
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
10. Граница интервала 
есть
1) , 2) , 3) 
, 4)
11. Множество всех непрерывных функций на прямой
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
12. Граница множества 
есть
1) , 2) , 3) , 4)
13. Множество всех отрезков на прямой
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
14. Граница множества 
есть
1) , 2) , 3) , 4)
15. Множество всех окружностей на плоскости
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
16. Граница множества есть
1) , 2) , 3) , 4)
17. Множество всех непересекающихся кругов на плоскости
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
18. Граница множества целых чисел 
есть
1) 
, 2) , 3) 
, 4)
19. Множество всех интегрируемых по Риману функций на отрезке
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
20. Множество всех интегрируемых по Лебегу функций на отрезке
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
21. Множество всех монотонных функций на отрезке
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
22. Множество всех функций ограниченной вариации на отрезке
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
23. Множество всех непрерывно дифференцируемых функций на отрезке
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
24. Множество всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
25. Верхний предел последовательности множеств 
есть
26. Нижний предел последовательности множеств есть
27. Верхний предел последовательности отрезков 
есть
28. Нижний предел последовательности отрезков есть
29. Верхний предел последовательности отрезков 
есть
30. Нижний предел последовательности отрезков есть
31. Для последовательности попарно непересекающихся множеств 
выбрать правильные ответы
32. Какие равенства справедливы для произвольных последовательностей множеств , 
1) 
2) 
3) 
, 4) 
.
33. Множество рациональных чисел
1) открыто, 2) имеет тип 
, 3) замкнуто, 4) имеет тип 
34. Множество иррациональных чисел
1) открыто, 2) имеет тип , 3) замкнуто, 4) имеет тип
35. Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами в пространстве 
1) открыто, 2) имеет тип , 3) замкнуто, 4) имеет тип
36. Множество без алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами
1) открыто, 2) имеет тип , 3) замкнуто, 4) имеет тип
37. Множество всех открытых множеств на прямой
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
38. Множество всех замкнутых множеств на прямой
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
39. Выбрать правильные ответы. Полукольцо замкнуто относительно
1) объединения, 2) пересечения, 3) разности, 4) симметрической разности, 5) счетного объединения, 6) счетного пересечения
40. Выбрать правильные ответы. Кольцо замкнуто относительно
1) объединения, 2) пересечения, 3) разности, 4) симметрической разности, 5) счетного объединения, 6) счетного пересечения
41. Выбрать правильные ответы. Алгебра замкнута относительно
1) объединения, 2) пересечения, 3) разности, 4) симметрической разности, 5) счетного объединения, 6) счетного пересечения
42. Выбрать правильные ответы. 
-алгебра замкнута относительно
1) объединения, 2) пересечения, 3) разности, 4) симметрической разности, 5) счетного объединения, 6) счетного пересечения
43. Наименьшая -алгебра на прямой, содержащая все открытые интервалы есть
1) -алгебра лебеговых множеств, 2) -алгебра борелевских множеств,
3) множество всех замкнутых множеств,4) множество всех открытых множеств
44. Конечные объединения попарно непересекающихся интервалов вида 
есть
1) -алгебра, 2) алгебра, 3) кольцо, 4) -кольцо
45. Выбрать правильные ответы. Мера Жордана в 
является
1) неотрцательной, 2) аддитивной, 3) счетно аддитивной, 4) полной
46. Выбрать правильные ответы. Мера Бореля в 
является
1) неотрцательной, 2) аддитивной, 3) счетно аддитивной, 4) полной
47. Выбрать правильные ответы. Мера Лебега в является
1) неотрцательной, 2) аддитивной, 3) счетно аддитивной, 4) полной
48. Если последовательность измеримых множеств конечной меры убывает, то
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
49. Если последовательность измеримых множеств конечной меры возрастает, то
1) 
, 2) 
, 3) ,
50. Для последовательности измеримых множеств конечной меры справедливы соотношения
1) 
, 2) 
, 3) 
51. Мера Лебега точки равна
1) 1, 2) 
, 3) 0, 4) не измеримо
52. Мера открытого множества 
на прямой равна
1) длине наименьшего интервала, содержащего ,
2) сумме длин составляющих интервалов,
3) длине наибольшего интервала, содержащегося в
53. Выбрать правильные ответы для канторова множества на отрезке
1) открытое, 2) замкнутое, 3) всюду плотное, 4) нигде не плотное,
5) меры Лебега 1, 6) меры Лебега 0, 7) счетное, 8) мощности континуума,
9) совершенное, 10) в троичной записи участвуют 0, 1, 11) в троичной записи участвуют 1, 2, 12) в троичной записи участвуют 0, 2
54. Множество всех измеримых по Борелю множеств на прямой
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
55. Множество всех измеримых по Лебегу множеств на прямой
1) счетное,2) имеет мощность континуума,3) имеет мощность гиперконтинуума
56. Мера множества точек на плоскости, у которых одна координата рациональное число, а другая координата иррациональное число, равна
1) 
, 2) 1, 3) 0
57. Мера множества точек 
на плоскости, у которых 
и 
рациональное число, равна
1) , 2) 1, 3) 0
58. Мера множества точек отрезка , в десятичной записи которых отсутствует 1, равна
1) , 2) 1, 3) 0
59. Мера множества точек отрезка , в десятичной записи которых отсутствует 1, 7, равна
1) , 2) 1, 3) 0
60. Мера множества точек отрезка , в десятичной записи которых отсутствует 1, 7, 9, равна
1) , 2) 1, 3) 0
61. Может ли неограниченное открытое множество на прямой иметь конечную меру
1) да, 2) нет
62. Может ли неограниченное открытое множество на прямой иметь нулевую меру
1) да, 2) нет
63. Может ли неограниченное замкнутое множество на прямой иметь конечную меру
1) да, 2) нет
64. Может ли неограниченное замкнутое множество на прямой иметь нулевую меру
1) да, 2) нет
65. Если функция 
измерима на отрезке , то 
также измерима
1) да, 2) нет
66. Если функция измерима на любом отрезке 
, то измерима на отрезке
1) да, 2) нет
67. Если 
, то 
- измеримая
1) да, 2) нет
68. Измерима ли функция
1) да, 2) нет
69. Измерима ли функция
где 
- не измеримое множество
1) да, 2) нет
70. Измерима ли функция
где 
, а - не измеримое множество на интервале 
1) да, 2) нет
71. Измерима ли функция
где - не измеримое множество на прямой, а функция 
- непрерывная возрастающая на прямой и 
1) да, 2) нет
72. Измерима ли функция
где 
, а 
- не измеримые множества на прямой
1) да, 2) нет
73. Измерима ли функция
где 
- канторово множество, а - не измеримое множество на отрезке 
1) да, 2) нет
74. Какие высказывания правильные
1) из сходимости по мере на множестве конечной меры вытекает сходимость почти всюду,
2) из сходимости почти всюду на множестве конечной меры вытекает сходимость по мере,
3) из сходящейся по мере последовательности на множестве конечной меры можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся почти всюду
75. Измерима ли функция 
на квадрате 
, если она непрерывна по каждой переменной в отдельности при фиксированной другой
1) да, 2) нет
76. Если для любого измеримого множества 
: 
, то 
почти всюду
1) да, 2) нет
77. Если для любого отрезка 
: 
, то 
почти всюду на отрезке
1) да, 2) нет
78. Выбрать правильные высказывания. Функция
на отрезке
1) интегрируема по Риману, 2) интегрируема по Лебегу,
3) не интегрируема по Риману, 4) не интегрируема по Лебегу
79. Интегрируема ли по Лебегу на функция
,
где 
.
1) да, 2) нет
80. Интегрируема ли по Лебегу на отрезке функция
,
где 
- канторово множество
1) да, 2) нет
81. Интегрируема ли по Лебегу на отрезке функция
,
где - канторово множество
1) да, 2) нет
82. Интегрируема ли по Лебегу на отрезке функция
,
где 
- канторово множество
1) да, 2) нет
83. Интегрируема ли по Лебегу на интервале 
функция
1) да, 2) нет
84. Интегрируема ли по Лебегу на интервале функция
1) да, 2) нет
85. Интегрируема ли по Лебегу на прямой функция
1) да, 2) нет
86. Интегрируема ли по Лебегу на прямой функция
1) да, 2) нет
87. Интегрируема ли по Лебегу на интервале функция
1) да, 2) нет
88. Интегрируема ли по Лебегу на отрезке 
функция
1) да, 2) нет
89. Найти интеграл Лебега на отрезке для функции
1) 0, 2) 1, 3) 2, 4) 
90. Пусть - канторово множество. Найти интеграл Лебега на отрезке для функции
где 
- объединение дополнительных открытых интервалов длины 
1) 0, 2) 
, 3) 
, 4)
91. Найти интеграл Лебега на отрезке для функции
,
где 
.
1) 0, 2) , 3) , 4)
92. Для каких 
сходится абсолютно несобственный интеграл
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
93. Для каких сходится условно несобственный интеграл
1) 
, 2) 
, 3) , 4) 
94. Для каких существует интеграл Римана
1) , 2) 
, 3) , 4)
95. Для каких существует интеграл Лебега
1) , 2) , 3) , 4)
96. Для каких сходится абсолютно несобственный интеграл
1) , 2) , 3) , 4)
97. Для каких сходится условно несобственный интеграл
1) , 2) , 3) , 4)
98. Для каких существует интеграл Лебега
1) , 2) , 3) , 4)
99. Для каких сходится абсолютно несобственный интеграл
1) , 2) , 3) , 4)
100. Для каких сходится условно несобственный интеграл
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
101. Для каких существует интеграл Римана
1) , 2) , 3) , 4)
102. Для каких существует интеграл Лебега
1) 
, 2) 
, 3) , 4)
103. Для каких сходится абсолютно несобственный интеграл
1) , 2) , 3) , 4)
104. Для каких сходится условно несобственный интеграл
1) , 2) 
, 3) 
, 4) 
105. Для каких существует интеграл Лебега
1) 
, 2) , 3) , 4) .
Библиографический список
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: учеб. пособие. – 7-е изд. – М.: Физматлит, 2004. – 572с.
2. Действительный анализ в задачах: учеб. пособие для вузов / П.Л. Ульянов [и др.] – М.: Физматлит, 2005. – 416с.
3. Золотухин А.Я. Элементы теории множеств, меры и интеграла Лебега: учеб. пособие. – Тула: ТулГУ, 2007. – 107с.
4. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Действительный анализ». Тула: ТулГУ, 2013. — (Электронное издание).
5. Методические указания к самостоятельной работе студента по дисциплине «Действительный анализ». Тула: ТулГУ, 2013. — (Электронное издание).