Ещё раз внимательно прочитать материал и решить задания данные в конце темы.
Линейные неравенства. Системы линейных неравенств
На уроке Уравнение прямой на плоскости мы рассмотрели общее уравнение прямой 
. Уравнение – хорошо, в жизни пригодится, но не менее важно знать геометрический смысл линейных неравенств двух переменных. Принципиальное отличие от неравенств с одной переменной состоит в размерности. Если в примерах статьи Область определения функции существуют только «иксы» и только ось абсцисс, то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости. Далее по тексту словосочетание «линейное неравенство» понимаем в двумерном смысле, который прояснится через считанные секунды.
Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью.
Линейные неравенства
Различают два типа линейных неравенств:
1) Строгие неравенства: 
.
2) Нестрогие неравенства: 
.
Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость.
Для понимания нижеследующей информации нужно знать разновидности прямых на плоскости и уметь строить прямые
Как известно, ось абсцисс 
задаётся уравнением 
– «игрек» всегда (при любом значении «икс») равняется нулю
Рассмотрим неравенство 
. Как его понимать неформально? «Игрек» всегда (при любом значении «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками».
В том случае, если неравенство нестрогое 
, к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось .
Аналогично: неравенству 
удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству 
соответствует нижняя полуплоскость + ось .
С осью ординат 
та же самая прозаичная история:
– неравенство 
задаёт правую полуплоскость;
– неравенство 
задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат;
– неравенство 
задаёт левую полуплоскость;
– неравенство 
задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат.
На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных.
Отсутствует «игрек»:
Или отсутствует «икс»:
С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, пожалуйста, рассмотрите оба подхода.
Пример 1
Решить линейные неравенства:
Что значит решить линейное неравенство?
Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение, как правило, графическое.
Удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать:
а) Решим неравенство 
Способ первый
Способ весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс».
Правило: В неравенстве слагаемые переносятся из части в часть со сменой знака, при этом знак САМОГО неравенства не меняется (например, если был знак «меньше», то так и останется «меньше»).
Переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака:
Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства не меняется.
Умножаем обе части неравенства на 
:
Теперь чертим прямую 
(синяя пунктирная линия). Прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое, и точки, принадлежащие данной прямой, заведомо не будут входить в решение.
Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем 
. Очевидно, что этому утверждению удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Данную полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру.
Способ второй
Это универсальный способ. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО!
Сначала чертим прямую 
. Для ясности, кстати, уравнение целесообразно представить в виде .
Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев, самая лакомая точка, конечно 
. Подставим координаты данной точки в неравенство 
:
Получено неверное неравенство (простыми словами, так быть не может), значит, точка не удовлетворяет неравенству .
Ключевое правило нашей задачи:
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.
Можете протестировать: любая точка справа от прямой не будет удовлетворять неравенству .
Какой вывод из проведённого опыта с точкой ? Деваться некуда, неравенству удовлетворяют все точки другой – левой полуплоскости (тоже можете проверить).
б) Решим неравенство 
Способ первый
Преобразуем неравенство:
Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный (например, если был знак «больше либо равно», то станет «меньше либо равно»).
Умножаем обе части неравенства на 
:
Начертим прямую 
(красный цвет), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое, и прямая заведомо принадлежит решению.
Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая).
Подходящую полуплоскость штрихуем либо помечаем стрелочками.
Способ второй
Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости (не принадлежащую прямой), например, и подставим её координаты в наше неравенство 
:
Получено верное неравенство, значит, точка удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.
Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость.
Решение задачи обозначено красной прямой и красными стрелочками.
Лично мне больше нравится первый способ решения, поскольку второй таки более формален.
Пример 3
Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:
Решение: Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки.
а) Построим уравнение прямой 
, при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство строгое и сама прямая не войдёт в решение.
Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставим её координаты в наше неравенство:
Получено неверное неравенство, значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству 
. Решением неравенства будет другая полуплоскость, любуемся синими молниями:
б) Решим неравенство 
. Сначала построим прямую. Это сделать несложно, перед нами каноничная прямая пропорциональность 
. Линию проводим сплошняком, так как неравенство нестрогое.
Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, сейчас оно не годится. Поэтому придётся работать с другой подругой. Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, 
. Подставим её координаты в наше неравенство:
Получено верное неравенство, значит, точка и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Искомая полуплоскость помечена красными стрелочками. Кроме того, в решение входит сама прямая .
Разберём обратную задачу:
Пример 5
а) Дана прямая 
. Составить уравнение полуплоскости, в которой находится точка 
, при этом сама прямая должна входить в решение.
б) Дана прямая 
. Составить уравнение полуплоскости, в которой находится точка 
. Сама прямая не входит в решение.
Решение: здесь нет необходимости в чертеже, и решение будет аналитическим. Ничего трудного:
а) Составим вспомогательный многочлен 
и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая входит в решение, поэтому неравенство будет нестрогим: 
б) Составим многочлен 
и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая не входит в решение, следовательно, неравенство будет строгим: 
.
Ответ: 