Что значит решить систему линейных неравенств?

Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока):

Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система неравенств задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система неравенств задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– система неравенств задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно очевидно, что «икс» не может одновременно быть больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может являться прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая .

Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы.

Пример 7

Решить систему линейных неравенств

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестрогими неравенствами, поэтому оставшуюся часть урока водить хороводы будут именно они.

Решение: то, что неравенств многовато, пугать не должно. Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно. Главное, придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)

2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость. Ну что же, область поиска стала ещё меньше – такой не ограниченный сверху прямоугольник.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полной амуницией»: . Алгоритм решения мы подробно рассмотрели в предыдущем параграфе. Вкратце: сначала строим прямую, потом с помощью подопытной точки находим нужную нам полуплоскость.

Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. Перестарался немного =) В тетради область решений достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом.

Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (для интереса можете проверить).

Ответ: решением системы является многоугольник .

Пример 9

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы. Неравенство задаёт левую полуплоскость с осью ординат, и халявы тут больше нет. После расчётов на чистовике/черновике или глубоких мыслительных процессов, получаем следующую область решений:

Область решений представляет собой многоугольник . Теперь нужно найти координаты вершин полученной области. Здесь ясно прорисовались координаты только двух точек: . Остаётся решить вопрос с точками .

Нетрудно заметить, что вершины являются точками пересечением прямых. Найдём координаты вершины :

Примечание: из второго уравнения системы почленно вычтено первое уравнение.