5.1. Вероятность суммы несовместных событий
Пусть событие 
является суммой событий 
, которым благоприятствуют 
из 
исходов опыта. Тогда событию благоприятствуют 
исходов. По классической формуле:
.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Это утверждение часто называют теоремой сложения вероятностей 
.
Пример. Вернемся к рассмотренному в лекции 4 опыту с бросанием двух костей одновременно. Здесь возможны следующие исходы:
Первая цифра в паре указывает цифру, выпавшую при бросании первой кости, вторая - при бросании второй.
Пусть — выпадение в сумме от 5 до 7 очков. Тогда 
, где 
— выпадение в сумме 5 очков, 
— выпадение в сумме 6 очков, 
— выпадение в сумме 7 очков. Общее число исходов и значение 
подсчитаны, значения 
и 
можно подсчитать аналогично.
?? Чему равны , , и ?
?? Являются ли события , и несовместными?
Искомая вероятность будет равна
.
Следствие 1. Если события 
образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1:
.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
или 
.
Вероятность события 
равна 1 минус вероятность события, противоположного .
!! Следствие 2 часто используют при решении задач.
Например, найдем вероятность события А, состоящего в том, что наугад названное пятизначное число содержит хотя бы одну четную цифру.
1 способ. Рассмотрим событие А как сумму событий , , , 
и 
.
, где
— названное число содержит 1 четную цифру;
— названное число содержит 2 четные цифры;
— названное число содержит 3 четные цифры;
— названное число содержит 4 четные цифры;
— названное число содержит 5 четных цифр;
?? Являются ли события , , , и несовместными?
Т.о., вероятность Р(А) найдём по формуле вероятности суммы несовместных событий:
.
2 способ. Гораздо проще, однако, найти 
, вычислив вероятность противоположного события 
– в названном числе не содержится ни одной четн ой цифры.
Т.к. чисел с нечетными цифрами 
(по правилу произведения для комбинаторных соединений, поскольку выбираем из 1,3,5,7,9, а цифры в числе могут повторяться),
а общее число пятизначных чисел 
(??-как сосчитали?),
то 
; тогда по формуле вероятности для противоположных событий получим
.
5.2. Вероятность суммы совместных событий
Рассмотрим вначале сумму двух совместных событий и . Представим общее число исходов площадью 
прямоугольника 
, исходы , благоприятствующие — площадью 
, исходы , благоприятствующие событию — площадью 
. Площадь 
соответствует исходам 
, благоприятствующим и событию и событию .
Из рисунка видно, что исходы опыта 
, благоприятствующие событию 
, представлены отмеченной штриховкой площадью 
. Воспользовавшись геометрическим способом вычисления вероятности, можем найти
.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность совместного осуществления (произведения) этих событий.
Теперь рассмотрим три совместных события , , . Как и в предыдущем случае будем считать, что площадь прямоугольника соответствует всем исходам опыта, — исходам, благоприятствующим событию , — исходам, благоприятствующим событию , 
— исходам, благоприятствующим , — и событию , и событию , 
— и событию , и событию , 
— и , и ; 
— всем трем событиям одновременно. Событию соответствует площадь, отмеченная штриховкой. Обращаясь вновь к геометрическому определению вероятности, найдем
Сравнение формул для двух и трех совместных событий позволяет сделать следующий вывод.
Вероятность суммы нескольких совместных событий 
равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность всех возможных произведений четного числа событий плюс вероятность всевозможных произведений нечетного числа событий.
5.3. Вероятность произведения независимых событий
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не меняется при наступлении другого.
Такие события могут наступить при проведении двух независимых опытов. Если число исходов первого опыта 
, а число исходов второго 
, то общее число исходов при одновременном проведении двух опытов 
. Если исходов благоприятствуют событию , а — событию , то общее число способов осуществить пару событий 
равно 
, тогда
.
Вероятность произведения независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий:
.
Пример. Задача про любознательного студента
Студент разыскивает нужную ему формулу в одном из трёх справочников. Вероятности того, что формула находится в первом, втором и третьем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности следующих событий: 1) A – формула находится только в одном справочнике;
2) B – формула находится только в двух справочниках;
3) C – формула находится во всех трёх справочниках;
4) D – формулы нет ни в одном справочнике;
5) E – формула находится хотя бы в одном справочнике.
Решение. Обозначим 
– вероятности того, что формула есть соответственно в первом, втором и третьем справочниках, тогда 
– вероятности противоположных событий, т.е. вероятности того, что формулы нет в этих справочниках.
1) Найдем вероятность события A.
Если формула находится только в одном справочнике, то это означает, что: а) либо она находится в первом справочнике, но тогда её нет ни во втором, ни в третьем;
б) либо она есть во втором справочнике, но тогда её нет ни в первом, ни в третьем;
в) либо она есть в третьем справочнике, но тогда её нет ни в первом, ни во втором.
В этих трёх случаях события являются несовместными, а событие А представляет собой сумму произведений элементарных исходов в поиске формулы в каждом из справочников, поэтому
2) Найдем вероятность события B.
Если формула находится только в двух справочниках, то так же, как и в предыдущем случае, возможны три варианта её расположения, поэтому при нахождении вероятности события B также будем иметь три слагаемых.
3) При нахождении вероятности события C
перемножаем вероятности того, что формулы находятся в соответствующих справочниках (независимые события),
4) а при нахождении вероятности события D — вероятности противоположных событий (независимые между собой события).
5) Вероятность события E найдём двумя способами.
1 способ. Событие «формула есть хотя бы в одном справочнике» заключается в том, что формула есть
либо только в одном справочнике,
либо только в двух,
либо только в трёх. Эти события несовместны, поэтому
2 способ. Событие «формула есть хотя бы в одном справочнике» является противоположным событию «формулы нет ни в одном справочнике». Это означает, что
Второй способ предпочтительней при решении задач на нахождение вероятности появления хотя бы одного из событий.
*******************************************************************
!!! Домашнее задание (продолжение этой задачи):
в условиях данной задачи найти вероятности следующих событий:
6) К – формула находится, по крайней мере, в двух справочниках;
7) М – формула находится не более чем в двух справочниках.
*******************************************************************
5.4. Вероятность произведения зависимых событий
Событие 
называется зависимым от события 
, если вероятность события меняется при наступлении события .
Условной вероятностью 
события относительно события называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие 
наступило.
Пусть 
- общее число возможных исходов опыта, из них 
исходов благоприятствуют событию Н. Предположим, что событие Н произошло. По определению: 
.
Тогда общим числом возможных исходов для события А будет . Пусть 
из них благоприятствуют событию А, а значит и событию АН. Тогда вероятность одновременного наступления событий и А, и Н, т.е. их произведения, равна 
.
Вероятность произведения двух зависимых событий равна
