9.1 Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП, рассматриваемых как случайные величины в соответствии с 8.3. Если доверительные границы случайных погрешностей найдены в соответствии с разделом 7, границы погрешности оценки измеряемой величины 
(без учета знака) вычисляют по формуле
, (12)
где 
- коэффициент, зависящий от соотношения случайной составляющей погрешности и НСП.
Суммарное среднее квадратическое отклонение 
оценки измеряемой величины вычисляют по формуле
, (13)
где 
- среднее квадратическое отклонение НСП, которое оценивают в зависимости от способа вычисления НСП по формуле
, (14)
где 
- границы НСП, которые определяют по одной из формул (7), (9), (10) или
, (15)
где 
- доверительные границы НСП, которые определяют по одной из формул (8), (11);
- коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью 
, числом составляющих НСП и их соотношением между собой.
Коэффициент для подстановки в формулу (12) в зависимости от числа НСП определяют по эмпирическим формулам соответственно
, 
. (16)
Форма записи оценки измеряемой величины
10.1 Оформление записи оценок измеряемых величин проводят в соответствии с правилами по межгосударственной стандартизации [2].
10.2 Округление при обработке результатов измерений выполняют в соответствии с приложением Е.
10.3 При симметричных доверительных границах погрешности оценку измеряемой величины представляют в форме
, , (17)
где 
- оценка измеряемой величины.
Числовое значение оценки измеряемой величины должно оканчиваться цифрой того разряда, что и значение погрешности .
10.4 При отсутствии данных о виде функций распределений составляющих погрешности оценки измеряемой величины и необходимости дальнейшей обработки результатов измерений или анализа погрешностей оценки измеряемой величины представляют в форме
; 
; 
; 
. (18)
В случае когда границы неисключенной систематической погрешности вычисляют в соответствии с 8.5, следует дополнительно указывать доверительную вероятность .
Примечание - Оценки и 
могут быть выражены в абсолютной и относительной формах.
Приложение А
(справочное)
Критические значения для критерия Граббса
Таблица А.1 - Критические значения 
для критерия Граббса
| Одно наибольшее или одно наименьшее значение при уровне значимости 
| |
| Свыше 1% | Свыше 5% | |
| 1,155 | 1,155 | |
| 1,496 | 1,481 | |
| 1,764 | 1,715 | |
| 1,973 | 1,887 | |
| 2,139 | 2,020 | |
| 2,274 | 2,126 | |
| 2,387 | 2,215 | |
| 2,482 | 2,290 | |
| 2,564 | 2,355 | |
| 2,636 | 2,412 | |
| 2,699 | 2,462 | |
| 2,755 | 2,507 | |
| 2,806 | 2,549 | |
| 2,852 | 2,585 | |
| 2,894 | 2,620 | |
| 2,932 | 2,651 | |
| 2,968 | 2,681 | |
| 3,001 | 2,709 | |
| 3,031 | 2,733 | |
| 3,060 | 2,758 | |
| 3,087 | 2,781 | |
| 3,112 | 2,802 | |
| 3,135 | 2,822 | |
| 3,157 | 2,841 | |
| 3,178 | 2,859 | |
| 3,199 | 2,876 | |
| 3,218 | 2,893 | |
| 3,236 | 2,908 | |
| 3,253 | 2,924 | |
| 3,270 | 2,938 | |
| 3,286 | 2,952 | |
| 3,301 | 2,965 | |
| 3,330 | 2,991 | |
| 3,356 | 3,014 | |
| 3,381 | 3,036 |
Приложение Б
(справочное)
Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе результатов измерений 15 
50
При числе результатов измерений 
50 нормальность их распределения проверяют с помощью составного критерия.
Б.1 Критерий
Вычисляют отношение 
, (Б.1)
где 
- смещенное среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле
. (Б.2)
Результаты измерений в ряду считают распределенными нормально, если
, (Б.3)
где 
и 
- квантили распределения, получаемые из таблицы Б.1 по , 
и 
, причем 
- заранее выбранный уровень значимости (1%, 5%, 99% или 95%).
Таблица Б.1 - Квантили и 
распределения
|
|  ·100%
| ·100%
| ||
| 1% | 5% | 99% | 95% | |
| 0,9137 | 0,8884 | 0,6829 | 0,7236 | |
| 0,9001 | 0,8768 | 0,6950 | 0,7304 | |
| 0,8901 | 0,8686 | 0,7040 | 0,7360 | |
| 0,8826 | 0,8625 | 0,7110 | 0,7404 | |
| 0,8769 | 0,8578 | 0,7167 | 0,7440 | |
| 0,8722 | 0,8540 | 0,7216 | 0,7470 | |
| 0,8682 | 0,8508 | 0,7256 | 0,7496 | |
| 0,8648 | 0,8481 | 0,7291 | 0,7518 |
Б.2 Критерий 2
Считают, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, если не более 
разностей 
превысили значение 
,
где 
- среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле (3);
- верхний квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности 
.
Значения вероятности определяют из таблицы Б.2 по выбранному уровню значимости 
, %, и числу результатов измерений . Зависимость 
от приведена в таблице Б.3.
Таблица Б.2 - Значения Р для вычисления
| 
| ·100%
| ||
| 1% | 2% | 5% | ||
| 0,98 | 0,98 | 0,96 | ||
| 11-14 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | |
| 15-20 | 0,99 | 0,99 | 0,98 | |
| 21-22 | 0,98 | 0,97 | 0,96 | |
| 0,98 | 0,98 | 0,96 | ||
| 24-27 | 0,98 | 0,98 | 0,97 | |
| 28-32 | 0,99 | 0,98 | 0,98 | |
| 33-35 | 0,99 | 0,98 | 0,98 | |
| 36-49 | 0,99 | 0,99 | 0,98 |
Таблица Б.3 - Значения
| 
|
| 0,96 | 2,06 |
| 0,97 | 2,17 |
| 0,98 | 2,33 |
| 0,99 | 2,58 |
При уровне значимости, отличном от предусмотренных в таблице Б.2, значение находят путем линейной интерполяции.
При несоблюдении хотя бы одного из критериев считают, что распределение результатов измерений группы не соответствует нормальному.
Приложение В
(справочное)
Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений 
50
В.1 При числе результатов измерений 
50 для проверки критерия согласия теоретического распределения с практическим чаще всего используют критерий К.Пирсона. Рекомендуемые числа интервалов 
в зависимости от числа результатов измерений приведены в таблице В.1. Вычисления сводят в таблицу В.2, в которой приведен алгоритм вычислений для проверки гипотезы о нормальности распределения результатов измерений. При этом группируют результаты измерений. Группирование - разделение результатов измерений от наименьшего 
до наибольшего 
на 
интервалов.
Таблица В.1 - Рекомендуемые числа интервалов в зависимости от числа результатов измерений
Число результатов измерений 
| Рекомендуемое число интервалов 
|
| 40-100 | 7-9 |
| 100-500 | 8-12 |
| 500-1000 | 10-16 |
| 1000-10000 | 12-22 |
Таблица В.2 - Вспомогательная таблица для проверки распределения результатов измерений
Номер интервала 
| Середина интервала 
| Число результатов измерений в интервале 
| 
| 
| 
| 
|
Ширину интервала 
выбирают постоянной и вычисляют по формуле
. (В.1)
В.2 Установив границы интервалов, подсчитывают число результатов измерений , попавших в каждый интервал. Далее вычисляют: середины интервалов , среднее арифметическое 
и среднее квадратическое отклонение результатов измерений . Определяют число результатов измерений 
, которое должно было бы находиться в интервале, если бы распределение результатов измерений было нормальным, по формуле
, (В.2)
где 
- плотность нормального распределения 
;
- вероятность попадания результатов измерении в -й интервал.
В.3 Для каждого интервала вычисляют критерий К.Пирсона . Просуммировав 
по всем 
интервалам, получают 
с определенным числом степеней свободы 
. Для нормального распределения 
.
В.4 Выбрав уровень значимости по таблицам распределения 
, находят нижнее 
и верхнее 
(значения -процентных точек для распределения приведены в таблице В.3).
Выбрав уровень значимости критерия, определяют квантили и 
. Квантиль , вычисленный по результатам измерений, должен находиться между и .
Таблица В.3 - Значения 
-процентных точек 
для распределения
| Число степеней свободы
| |||||||
| 99,0 | 0,30 | 0,87 | 1,65 | 2,56 | 3,57 | 4,66 | 5,81 | 7,02 |
| 95,0 | 0,71 | 1,64 | 2,73 | 3,94 | 5,23 | 6,57 | 7,96 | 9,39 |
| 90,0 | 1,06 | 2,20 | 3,49 | 4,86 | 6,30 | 7,79 | 9,31 | 10,89 |
| 10,0 | 7,78 | 10,64 | 13,36 | 15,99 | 18,55 | 21,06 | 23,54 | 25,99 |
| 5,0 | 9,49 | 12,59 | 15,51 | 18,31 | 21,03 | 23,68 | 26,30 | 28,87 |
| 1,0 | 13,28 | 16,81 | 20,09 | 23,21 | 26,22 | 29,14 | 32,00 | 34,80 |
Приложение Г
(справочное)
Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений при числе измерений 
50, критерий 
Г.1 Критерий Мизеса-Смирнова использует статистику, имеющую вид
,
где 
- теоретическая функция распределения;
- эмпирическая функция распределения;
- весовая функция, область определения которой представляет собой область значений функции .
Конкретный вид статистики 
(или, точнее, 
) зависит от вида весовой функции. Как правило, используют весовые функции двух видов: 
, при которой все значения функции распределения обладают одинаковым весом, и 
, при которой вес результатов измерений увеличивается на "хвостах" распределений. В приведенном критерии использована весовая функция второго вида, поскольку на практике различия между распределениями наиболее отчетливы в области крайних значений. Однако почти всегда малое число результатов измерений имеется как раз в области крайних значений. Поэтому целесообразно придать этим результатам больший вес.
Если принять весовую функцию второго вида, то статистика после выполнения интегрирования имеет вид
, (Г.1)
где 
- значение функции теоретического распределения при значении аргумента, равном 
(
1,..., );
- результаты измерений, упорядоченные по значению.
Результаты измерений рекомендуется свести в таблицу, аналогичную таблице Г.1 расчетного примера применения критерия , а соответствующие им значения 
внести в третий столбец таблицы, аналогичной таблице Г.2 этого же примера.
Статистика 
подчиняется асимптотическому (при 
) распределению
Значения функции распределения 
для 0 
2,6 с шагом 0,01 приведены в таблице Г.3.
Г.2 Применение критерия требует выполнения большого объема вычислительных операций, но этот критерий более мощный, чем критерий Пирсона . Число результатов измерений при использовании этого критерия должно быть более 50.
Г.3 При использовании критерия 
вычисления проводят в следующем порядке:
Г.3.1 Вычисляют значение статистики по формуле (Г.1).
Промежуточные вычисления по формуле (Г.1) рекомендуется сводить в таблицу, аналогичную таблице Г.2 примера. После заполнения таблицы суммируют значения, внесенные в ее последний столбец. Значение величины находят, подставляя полученную сумму в формулу (Г.1).
Г.3.2 По таблице Г.3 находят значение функции распределения 
для 
, равного вычисленному значению .
Г.3.3 Задают уровень значимости 
. Рекомендуется выбирать значение 
, равное 0,1 или 0,2.
Г.3.4 Если 
, то гипотезу о согласии эмпирического и теоретического распределений отвергают, если 
, то гипотезу принимают.
Пример применения критерия
Пример составлен при малом количестве данных в целях иллюстрации сложного вычислительного процесса при использовании критерия .
Результаты измерений приведены в таблице Г.1.
Таблица Г.1 - Результаты измерений
Номер результата измерений 
| Результат измерений
|
| 15,61 | |
| 20,71 | |
| 21,68 | |
| 22,28 | |
| 23,22 | |
| 24,14 | |
| 24,59 | |
| 26,18 | |
| 26,23 | |
| 27,59 | |
| 27,88 | |
| 28,74 | |
| 29,34 | |
| 30,86 | |
| 32,08 |
Требуется проверить гипотезу о том, что группа результатов измерений не противоречит нормальному распределению. Среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение результатов измерений, представленных в таблице Г.1, равные соответственно 
25,4087 и 
4,3241, приняты в качестве параметров нормального распределения, значения функции распределения которого представлены в третьем столбце таблицы Г.2.
Результаты дальнейших вычислений также приведены в таблице Г.2.
Таблица Г.2 - Результаты промежуточных вычислений значения статистики 
по формуле (Г.1)
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 0,033 | 0,011726 | -2,14336 | -0,07145 | 0,9667 | 0,882740 | -0,12472 | -0,12057 | -0,19201 | |
| 0,100 | 0,136321 | -1,99274 | -0,19927 | 0,9000 | 0,863679 | -0,14655 | -0,13190 | -0,33117 | |
| 0,167 | 0,194344 | -1,63813 | -0,27302 | 0,8333 | 0,805656 | -0,21610 | -0,18008 | -0,45310 | |
| 0,233 | 0,234533 | -1,45016 | -0,33837 | 0,7667 | 0,765467 | -0,26727 | -0,20491 | -0,54328 | |
| 0,300 | 0,306428 | -1,18277 | -0,35483 | 0,7000 | 0,693572 | -0,36590 | -0,25613 | -0,61096 | |
| 0,367 | 0,384761 | -0,95513 | -0,35022 | 0,6333 | 0,615239 | -0,48574 | -0,30764 | -0,65785 | |
| 0,433 | 0,425046 | -0,85556 | -0,37074 | 0,5667 | 0,574954 | -0,55346 | -0,31363 | -0,68437 | |
| 0,500 | 0,570639 | -0,56100 | -0,28050 | 0,5000 | 0,429361 | -0,84546 | -0,42273 | -0,70323 | |
| 0,567 | 0,575345 | -0,55279 | -0,31325 | 0,4333 | 0,424655 | -0,85648 | -0,37114 | -0,68439 | |
| 0,633 | 0,692869 | -0,36691 | -0,23238 | 0,3667 | 0,307131 | -1,18048 | -0,43284 | -0,66522 | |
| 0,700 | 0,716339 | -0,33360 | -0,23352 | 0,3000 | 0,283661 | -1,25998 | -0,37799 | -0,61151 | |
| 0,766 | 0,729350 | -0,31560 | -0,24196 | 0,2333 | 0,270650 | -1,30693 | -0,30495 | -0,54691 | |
| 0,833 | 0,818325 | -0,20050 | -0,16708 | 0,1667 | 0,181675 | -1,70554 | -0,28426 | -0,45134 | |
| 0,900 | 0,896346 | -0,10943 | -0,09849 | 0,1000 | 0,103654 | -2,26670 | -0,22667 | -0,32516 | |
| 0,966 | 0,938585 | -0,06338 | -0,06127 | 0,0333 | 0,061415 | -2,79010 | -0,09300 | -0,15427 | |
Примечания
1 В первой строке заголовочной части таблицы приведена нумерация столбцов со 2-го по 10-й заглавными буквами латинского алфавита (, ,...,  ).
2 Во второй строке заголовочной части таблицы для столбцов с 4-го по 10-й (столбцы ,...,  ) приведены формулы для вычисления значений в строках, имеющих номер ( 1,..., 15), использующие значения ( ,...,  ), указанные на пересечении соответствующих столбцов и строк с номерами .
3 Для вычисления значений во втором столбце таблицы (столбец  ) число измерений  15.
|
Сумма значений, приведенных в столбце 10 таблицы Г.2, равна минус 7,61478. Тогда результат вычисления по формуле (Г.1) будет 
. Значение функции , в соответствии с таблицей Г.3, для 
0,23 равно 0,016. Это значение достаточно мало (0,016<0,8<0,9), следовательно, в соответствии с Г.4, гипотеза о том, что выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности, не может быть отвергнута.
Таблица Г.3 - Значения функции
Значение 
| ||||||||||
| 0,0 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 0,1 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,001 | 0,001 | 0,002 | 0,003 | 0,005 |
| 0,2 | 0,007 | 0,010 | 0,013 | 0,016 | 0,020 | 0,025 | 0,030 | 0,035 | 0,041 | 0,048 |
| 0,3 | 0,055 | 0,062 | 0,070 | 0,078 | 0,086 | 0,095 | 0,104 | 0,113 | 0,122 | 0,132 |
| 0,4 | 0,141 | 0,151 | 0,161 | 0,171 | 0,181 | 0,192 | 0,202 | 0,212 | 0,222 | 0,233 |
| 0,5 | 0,243 | 0,253 | 0,263 | 0,274 | 0,284 | 0,294 | 0,304 | 0,313 | 0,323 | 0,333 |
| 0,6 | 0,343 | 0,352 | 0,361 | 0,371 | 0,380 | 0,389 | 0,398 | 0,407 | 0,416 | 0,424 |
| 0,7 | 0,433 | 0,441 | 0,449 | 0,458 | 0,466 | 0,474 | 0,482 | 0,489 | 0,497 | 0,504 |
| 0,8 | 0,512 | 0,519 | 0,526 | 0,533 | 0,540 | 0,547 | 0,554 | 0,560 | 0,567 | 0,573 |
| 0,9 | 0,580 | 0,586 | 0,592 | 0,598 | 0,604 | 0,610 | 0,615 | 0,621 | 0,627 | 0,632 |
| 1,0 | 0,637 | 0,643 | 0,648 | 0,653 | 0,658 | 0,663 | 0,668 | 0,673 | 0,677 | 0,682 |
| 1,1 | 0,687 | 0,691 | 0,696 | 0,700 | 0,704 | 0,709 | 0,713 | 0,717 | 0,721 | 0,725 |
| 1,2 | 0,729 | 0,732 | 0,736 | 0,740 | 0,744 | 0,747 | 0,751 | 0,754 | 0,758 | 0,761 |
| 1,3 | 0,764 | 0,768 | 0,771 | 0,774 | 0,777 | 0,780 | 0,783 | 0,786 | 0,789 | 0,792 |
| 1,4 | 0,795 | 0,798 | 0,800 | 0,803 | 0,806 | 0,809 | 0,811 | 0,814 | 0,816 | 0,819 |
| 1,5 | 0,821 | 0,824 | 0,826 | 0,828 | 0,831 | 0,833 | 0,835 | 0,837 | 0,839 | 0,842 |
| 1,6 | 0,844 | 0,846 | 0,848 | 0,850 | 0,852 | 0,854 | 0,856 | 0,858 | 0,859 | 0,861 |
| 1,7 | 0,863 | 0,865 | 0,867 | 0,868 | 0,870 | 0,872 | 0,873 | 0,875 | 0,877 | 0,878 |
| 1,8 | 0,880 | 0,881 | 0,883 | 0,884 | 0,886 | 0,887 | 0,889 | 0,890 | 0,892 | 0,893 |
| 1,9 | 0,894 | 0,896 | 0,897 | 0,898 | 0,900 | 0,901 | 0,902 | 0,903 | 0,905 | 0,906 |
| 2,0 | 0,907 | 0,908 | 0,909 | 0,910 | 0,912 | 0,913 | 0,914 | 0,915 | 0,916 | 0,917 |
| 2,1 | 0,918 | 0,919 | 0,920 | 0,921 | 0,922 | 0,923 | 0,924 | 0,925 | 0,926 | 0,927 |
| 2,2 | 0,928 | 0,929 | 0,929 | 0,930 | 0,931 | 0,932 | 0,933 | 0,934 | 0,934 | 0,935 |
| 2,3 | 0,936 | 0,937 | 0,938 | 0,938 | 0,939 | 0,940 | 0,941 | 0,941 | 0,942 | 0,943 |
| 2,4 | 0,943 | 0,944 | 0,945 | 0,945 | 0,946 | 0,947 | 0,947 | 0,948 | 0,949 | 0,949 |
| 2,5 | 0,950 | 0,951 | 0,952 | 0,952 | 0,953 | 0,953 | 0,954 | 0,954 | 0,955 | 0,956 |
Приложение Д
(справочное)
Значения коэффициентов 
для случайной величины 
, имеющей распределение Стьюдента с 
степенями свободы
Таблица Д.1 - Значения коэффициентов Стьюдента
|
|  0,95
|  0,99
| |||
| 3,182 | 5,841 | ||||
| 2,776 | 4,604 | ||||
| 2,571 | 4,032 | ||||
| 2,447 | 3,707 | ||||
| 2,365 | 2,998 | ||||
| 2,306 | 3,355 | ||||
| 2,262 | 3,250 | ||||
| 2,228 | 3,169 | ||||
| 2,179 | 3,055 | ||||
| 2,145 | 2,977 | ||||
| 2,120 | 2,921 | ||||
| 2,101 | 2,878 | ||||
| 2,086 | 2,845
<
Поиск по сайту©2015-2025 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2019-11-01 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |