Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие № 11-12

Полную характеристикуо дискретной или непрерывной случайных величинах дают законы их распределения.

Однако во многих практически значимых ситуациях пользуются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин, главное назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности их распределения. Важно, что эти параметры представляют собой конкретные (постоянные) значения, которые можно оценивать с помощью полученных в опытах данных.

В теории вероятностей и математической статистике используется достаточно много различных характеристик, рассмотрим наиболее часто употребляемые.

1. Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Именно онихарактеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторые важные ее значения, которые характеризуют распределение остальных значений. Среди них важнейшую роль играет математическое ожидание М(Х).

а) Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х является вероятностным аналогом ее среднего арифметического .

Для дискретной случайной величины оно вычисляется по формуле:

(1)

а в случае непрерывной случайной величины М(Х) определяются формулами:

или (2)

где f(x) – плотность вероятности.

в) Еще одна характеристика положения – медиана (Ме) распределения случайной величины.

Медианой Ме(Х) случайной величины называют такое ее значение Х, которое делит все распределение на две равновероятные части. Другими словами для случайной величины одинаково вероятно принять значения меньше Ме (Х) или больше Ме(Х):

Р(Х < Ме) = Р(Х > Ме) = .

Поэтому медиану можно вычислить из уравнения: (3)

Графически медиана – это значение случайной величины, ордината которой делит площадь, ограниченную кривой распределения, пополам (S₁ = S₂) (рис.1в). Этой характеристикой обычно пользуются только для непрерывных случайных величин, хотя формально ее можно определить и для дискретных Х.

Если М(Х), Мо(Х) и Ме(Х) совпадают, то распределение случайной величины называют симметричным, в противном случае – асимметричным.

2. Характеристики рассеяния – дисперсия и стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение).

Дисперсия D(X) случайной величиныХ определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной Х от ее математического ожидания М(Х):

, (4)

или . (5)

Для дискретной случайной величины диперсия вычисляется по формулам:

_, (6) или . (7)

а для непрерывной величины, распределенной в интервале (a,b):

, или (8)

Дисперсия характеризует среднее рассеяние, разбросанность значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».

Но дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что весьма неудобно при оценке разброса в физических, биологических и др. приложениях. Поэтому обычно пользуются другим параметром, размерность которого совпадает с размерностью Х. Это среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, которое обозначают s (Х):

s (Х) = (8)

Итак, математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются наиболее употребляемыми числовыми характеристиками распределений случайных величин, каждая из которых, как было показано, выражает какое-нибудь характерное свойство этого распределения.