Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, называется показательным.
Рассмотрим способы решения показательных уравнений.
1) Приведение показательных уравнений к виду 
Показательные уравнения вида 
, где 
равносильно уравнению 
: 
К уравнениям рассматриваемого типа приводится уравнения 
т. к. 
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение:
Данное уравнение равносильно уравнению 
, 
, 
. Ответ: 3
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение.
; 
; 
; 
; 
Ответ: -1; 7.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение
; 
,
, 
Ответ: 1; 4.
Пример 4.
Решить уравнение 
Решение
По свойству показательной функции 
, где , для любого 
Поэтому 
, если 
, и обе части данного уравнения можно разделить на 
, тогда 
;
, 
; 
Ответ: -1; 3.
Вынесение общего множителя за скобки.
Этот способ применяют тогда, когда в результате вынесения за скобки степени с переменным показателем, в скобках получается алгебраическая сумма, которая является вполне определенным числом или выражением.
Пример 1.
Решить уравнение 
Решение
Вынося в левой части уравнения за скобки 
, получим
; 
; 
;
; 
;
Ответ: 3.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
; 
; 
; 
; 
Ответ: 4.
Пример 3.
Решить уравнение 
Решение:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
Ответ: 1.
3) Приведение показательного уравнения к квадратному.
К квадратному уравнению относительно новой переменной 
сводятся уравнения: 
подстановкой 
, при этом 
; 
подстановкой , при этом 
; 
предварительным делением обеих частей на 
и последующей постановкой 
.
Пример 1.
Решить уравнение 
Данное уравнение имеет вид . Пусть 
, тогда 
и дляопределения 
получим квадратное уравнения 
; 
имеем: 1) 
; 
2) 
; 
Ответ: 0, 1.
Пример 2.
Решить уравнение 
Решение:
; 
Получим уравнение . Используя подстановку: 
и 
, переходим к уравнению 
или 
находим корни 
; 
1) 
; 
; 2) 
– коней нет, так как 
Ответ: 2.
Пример3.
Решить уравнение 
Решение:
, т. е. получим уравнение вида 
Разделим обе части последнего уравнения почленно на 
, тогда 
. Пусть 
, тогда 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
– корней нет
Ответ: 0.
Пример 4.
При каких значениях 
уравнение 
имеет один корень.
Уравнение имеет один корень, если квадратное уравнение 
, этот корень положительный, если квадратное уравнение имеет 2 корня, эти корни имеют разные знаки при 
корней не имеет, при 
имеет один корень.
Показательные неравенства.
При решении показательных неравенств следует учитывать, что: при 
, 
т. е. при переходе к неравенству относительно показателей степени знак неравенства при 
; при 
,т. е. при переходе к неравенству относительно показательной степени знак неравенства при 
меняется на противоположный.
При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.
Пример 1.
Решить неравенство 
Решение:
Преобразуем неравенство: 
. Так как 
, то 
; 
x
Ответ: 
.
Пример 2.
Решить неравенство 
Решение:
. Так как 
то 
; 
. Последнее неравенство решаем методом интервалов: 
; 
+ - + x 
Ответ: 
Пример 3.
Решить неравенство 
Решение:
; 
; 
; 
; 
, так как , то 
; 
x
Ответ: 
Пример 4.
Решить неравенство 
Решение:
Пусть 
, тогда 
и данное неравенство примет вид: 
4или 
. Решим его методом интервалов:
; ; 
+ - + x
Нашли 
; 
. Перейдем к исходной переменной 
.
1) 
– решений нет, так как 
2) 
, так как 
Ответ: 
Пример 5.
Решить неравенство 
Решение:
Пусть 
, тогда данное неравенство примет вид 
. Применим метод интервалов: 
; 
+ - + y
3 27
; 
, так как 
, то 
x
1 
Ответ: 
3. Математический диктант.
Вариант 1. Вариант 2.
Решите уравнения:
1) 
1) 
2) 
2) 
3) 
3) 
4) 
4) 
5) 
5) 
6) 
6) 
7) 
7) 
8) 
8) 
9) 
9) 
10) 
10) 
Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.
4.Самостоятельная работа на рейтинговой основе.
Вариант 1. Вариант 2.
1 балл
1) 
1) 
2) 
2) 
3) 
3) 
4) 
4) 
5) 
5) 
6) 
6) 
2 балла
7) 
7) 
8) 
8) 
9) 
9) 
3 балла
10) 
10) 
Критерий оценивания:
5 – 6 баллов (задание 1 – 6) – оценка «3»;
9 – 10 баллов (задания 1 – 5 + остальные по выбору) – оценка «4»;
12 аллов (задания 1- 5 + остальные по выбору) – оценка «5».
5. Задания для дифференцированного обучения.
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 |
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Проверь своего товарища и оцени его работу.
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 |
| -1 | -1 | -2 |
| 10,5 | 0,5 | 6,5 |
| 8,5 | 10,75 | 1,8 |
| «5» - выполнено верно все 5 заданий | «4» - выполнено верно 4 задания | «3» - выполнено верно 3 задания |
Промежуточный тест
1. Решите уравнение: 
1) -1 2) 1 3) 7 4) -7
2. Решите уравнение: 
1) 2 2) 0 3)-1 4) нет корней
3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 
1) 
2) (9; 10) 3) (3; 5] 4) [0; 3]
4. Решите уравнение: 
1) 0; 2 2) 2 3) -2 4) 0
5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения 
6. Укажите промежуток содержащий все корни уравнения 
1) 
2) 
3) 
4) (9; 11)
7. Решите уравнение: 
1) 
2) 
3) 
4) 
8. Укажите промежуток, содержащий отрицательный корень уравнения 
1) 
2) 
3) 
4) 
9. Решите неравенство 
1) 
2) 
3) 
4) 
10. Укажите множество решений неравенства 
1) 
2) 
3) 
4) 
Итоговой тест
Часть А
Вариант 1.
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 
1) (-3; 0] 2) (0; 2]; 3) (2; 4); 4) [4; 6)
2. Найдите область определения функции: 
1) 
; 2) 
3) 
; 4) 
3. Какое из следующих чисел входит в множество значений функций 
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4
4. Укажите область определения функции 
1) 
2) 
3) 
4) 
5. Решите неравенство
1) 
2) 
3) 
4) 
Часть В
1. Решите уравнение: 
. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму его корней.
2. Найти наименьший корень уравнения: 
3. Найти значение выражения 
при 
4. Найти наибольший корень уравнения 
5. Найти сумму корней 
Вариант 2.
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 
1) 
2) 
3) 
4) 
2. Найдите область определения функции 
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
3. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции
1) -10; 2) -9; 3)-8; 4) -12
4. Укажите область определения функции 
1) 
2) 
3) 
4) 
5. Решите неравенство: 
1) 
2) 
3) 
4) 
Часть В
1. Решите уравнение: 
. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму его корней.
2. Найти наибольший корень уравнения 
3. Найти значение выражения 
при 
.
4. Найти наименьший корень уравнения 
5. Найти сумму корней: 
.
Ответы:
| Вариант | B1 | B2 | B3 | B4 | B5 |
| -12,5 | 3,5 | -7 | |||
| 12,8 | 0,25 |
8. Контрольная работа
Вариант 1.
1. Решить уравнения.
а) 
б) 
в) 
2. Решить неравенства.
а) 
б) 
3. Решит уравнения.
а) 
;
б) 
.
4. Решить неравенство.
5. При какихзначениях параметра 
уравнение имеет ровно 1 корень?
Вариант 2.
1. Решить уравнения.
а) 
;
б) 
;
в) 
.
2. Решить неравенства.
а) 
;
б) 
.
3. Решить уравнения.
а) 
;
б) 
.
4. Решить неравенство.
5. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 1 корень?
.
Используемая литература
1. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 класс.
2. Соболь Б. В., Виноградова И. Ю., Рашидова Е. В. Пособие для подготовки к ЕГЭ.
3. Казак В. В., А. В. Козак Тесты по математике.
4. Цыганов Ш. И. «Все задачи ЕГЭ по математике прошлых лет».
5. Н. Г. Старостенкова Проверочные работы с элементами тестирования по алгебре 11 класс.