Графическая обработка данных

ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛЫ

В результате исследования некоторой величины значениям поставлены в соответствие значения .

Задача: Найти аналитическую зависимость (эмпирическая функция), связывающие переменные и , значения которой при мало отличаются от опытных данных .

Результаты исследования можно представить в виде таблицы (табл. 2.1)

Таблица 2.1

				…
				…

Построение эмпирической функции состоит из двух этапов:

1. подбор общего вида формулы,

2. определение значений параметров функции.

Общий вид формулы иногда известен из физических соображений опытных данных. Например: для упругой среды связь между напряжением σ и относительной деформации ε определяется законом Гука: σ= εE, где E – модуль упругости. Задачи сводится к определению одного неизвестного параметра E.

Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической функции определяется исследователем и может быть произвольным. В этом случае анализ экспериментальных данных приводится следующими тремя методами: графическим (определения вида эмпирической функции), аналитическим, статистическим.

Графическая обработка данных

Графический метод обработки данных при правильном представлении обладает следующими преимуществами: наглядность формы представления, малые затраты на обработку, возможность представления большого объема информации на минимальном пространстве, а также с помощью этого метода можно без особых вычислений найти промежуточные значения переменных величин. Графические методы обработки экспериментальных данных помогают определить вид зависимости между данными.

Основными элементами графика являются поле графика, графический образ, масштаб, масштабная шкала, экспликация графика:

Поле графика — пространство, на котором размещаются графические символы.

Графические образы — составляют основу графика. В качестве графических символов используются геометрические знаки.

Масштаб — это мера перевода числовой величины в графическую.

Масштабная шкала — линия с нанесенными на нее масштабными отметками и их числовыми значениями. Шкалы могут быть равномерными и неравномерными, прямолинейными и криволинейными (круговые).

Экспликация графика — пояснения содержания графика, относящиеся к его заголовку, единицам измерения.

При построении графической зависимости переменных величин пользуются равномерными и неравномерными шкалами.

Равномерной шкалой при изображении функции в прямоугольных координатах называют такую, на которой расстояния между двумя делениями, соответствующими изменению переменной на одну и ту же величину, равны.

Если расстояния между двумя делениями, соответствующими изменению переменной на одну и ту же величину, не равны, такую шкалу называют неравномерной (логарифмической квадратичной шкалой и т. д.).

В некоторых случаях при значительной разнице в пределах изменения переменных величин не удается применить равные масштабы, тогда на осях координат применяют различные масштабы шкал, но обязательно с таким расчетом, чтобы построенные на этом графике кривые были наглядными и сам график получился бы наиболее компактным. При применении различных масштабов на точность отсчетов на самом графике не должен сказываться.

Например, при построении окружности применение различных масштабов для переменных приведет к искажению ее изображения, так как получим эллипс. В этом случае следует пользоваться на обеих осях шкалами с равными масштабами.

Шкала называется логарифмической (шкала с сужающимися делениями), если на ней нанесены логарифмы чисел, а отметками шкалы являются сами числа. Используется для отображения широко диапазона величин, когда значения переменных отличаются на много порядков. Чаще всего используются логарифмические шкалы с основанием 10.

Построение логарифмической шкалы основано на свойстве логарифмов: если любое число увеличить в 10, 100 и т. д. раз, то полученный логарифм нового числа, увеличит характеристику этого числа соответственно на 1, 2, 3 и т. д.

Для построения логарифмической шкалы берут две параллельные прямые (рис. 1.5) и на одной из них (верхней) строят равномерную шкалу от 0 до 1. Затем определяют значения логарифмов целых чисел от 1 до 10, отмечают на верхней шкале точки, отвечающие значениям , переносят на нижнюю прямую, записывая каждой перенесенной точке соответствующее значение .

Рисунок 1.5 Логарифмическая шкала

Логарифмическая шкала на осях координат позволяет спрямить получаемые кривые зависимости исследуемых величин и упрощает построение некоторых уравнений.

Степенная шкала – шкала с расширяющимися (степень больше 1) или сужающимися делениями (степень изменяется от 0 до 1), но не подпадающая под определение логарифмической шкалы (рис. 1.6).

Рисунок 1.6 Показательная шкала

По умолчанию Microsoft Office Excel задает при создании диаграммы минимальное и максимальное значения шкалы вертикальной оси (оси значений, или оси Y). Однако шкалу можно настроить в соответствии со своими потребностями. Если отображаемые на диаграмме значения охватывают очень широкий диапазон, вы также можете использовать для оси значений логарифмическую шкалу.

Как изменить шкалы можете прочитать на официальном сайте Microsoft:

https://support.office.com/.

Эмпирические функции.

Аналитический метод обработки данных позволяет получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод. Главное требование к получению аналитической функции является ее простота. Вид эмпирической зависимости можно определить из графического образа данных.

Задача построения эмпирической функции состоит в проведении кривой как можно ближе примыкающей к системе точек . Поиск эмпирической кривой отличается от интерполяции, так при интерполировании отыскивается функция, значения которой в заданных точках точно совпадает с табличными данными.

Если неизвестен характер зависимости между переменными и , то вид эмпирической формулы является произвольным. Предпочтение дается простым формулам, обладающей высокой точностью. Если отсутствуют сведения о промежуточных данных, то предполагается, что эмпирическая функция аналитическая без точек разрыва и ее график плавная кривая.

В качестве аналитических функций выбирают полином, степенную, показательную, логарифмическую, дробно-линейную и т.д.

Линейная зависимость y=ax+b.

После построения графика опытных данных близость экспериментальных данных просматривается легко. Зависимость не для равностоящих точек легко проверяется путем вычисления значения k_i:

Если k_i ≈ const, то точки . Точность аппроксимации определяется отклонением величины k_i о постоянного значения. Для равностоящих точек достаточно проверить постоянство разностей .

Пример:

Проверить возможность использования линейной зависимости для описания опытных данных, записанных в виде таблицы:

				10,62	9,32

Решение:

Данные определены для равностоящих точек.

Вычислим разности 1,31; 1,31; 1,32; 1,30.

Значения близки друг к другу, для опытных данных возможно использование линейной зависимости.

Линеанеризация функций.

В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены и другие функциональные зависимости, путем введения новых переменных (табл. 2.2).

Методы линеаризации:

1. метод логарифмирования — применяется к степенным и показательным функциям;

2. метод обратного преобразования — для дробных функций;

3. комплексный метод — для дробных и степенных функций.

Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.

Таблица 2.2

вид аппроксимирующей функции	уравнение аппроксимирующей функции	замена переменных	вид аппроксимирующей функции в новых переменных
степенная
экспоненциальная