Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия
Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.
Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени .
Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность
. Пусть
, а по определению
. Для произвольной последовательности
справедливо разложение
. В силу линейности
а в силу инвариантности
. Окончательно, если
, то
(1)
Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.
![]() |
Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.
Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.
Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.
Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда
.
Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если
. Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид
.
|
Рекуррентные системы
Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность обладает свойством:
. Пусть
,
, (2)
где - натуральное, а
- любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и
.Она будет линейной, если число
одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если
. Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.
Фильтры
Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается
, а на выходе получается последовательность
. Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим
(3).
Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой
, то
будет периодической функцией с периодом
. Если последовательность
- вещественная, то
. Отсюда следует, функция
является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале
и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.
Фильтры с конечным временем отклика.
Предположим, что в последовательности лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае
|
. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что
, получим, что
. Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид
(4)