Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия
Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.
Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени 
.
Пусть имеется ЛИС 
. Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность 
. Пусть 
, а по определению 
. Для произвольной последовательности 
справедливо разложение 
. В силу линейности 
а в силу инвариантности 
. Окончательно, если 
, то
(1)
Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности 
, называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.
|
Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.
Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.
Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.
Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда
.
Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности 
, если 
. Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид 
.
Рекуррентные системы
Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность обладает свойством: 
. Пусть
, 
, (2)
где 
- натуральное, а 
- любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и 
.Она будет линейной, если число одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если 
. Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.
Фильтры
Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность 
. Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим
(3).
Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция 
называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой 
, то будет периодической функцией с периодом . Если последовательность - вещественная, то 
. Отсюда следует, функция 
является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале 
и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.
Фильтры с конечным временем отклика.
Предположим, что в последовательности лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае
. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что 
, получим, что 
. Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид
(4)