Поток Пальма еще называют потоком с ограниченным последействием. Поток Пальма всегда стационарный.
Простейший поток есть частный случай потока Пальма: в нем расстояния T1, T2, T3, …, Ti, …, представляют собой случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону; их независимость следует из того, что простейший поток есть поток без последействия, и расстояние по времени между любыми двумя событиями не зависит от того, каковы расстояния между другими.
Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа Т1, Т2, … будут независимыми случайными величинами и образуют по ток Пальма.
Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма. Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.
Теорема Пальма
Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.
Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т.е. образуют для этой системы входной поток.
Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивших отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.
Многие потоки событий, встречающиеся на практике, хотя и не являются в точности потоками Пальма, но могут быть ими приближенно заменены.
1.3.ПОТОКИ ЭРЛАНГА
Важными для практики образцами потоков Пальма являются так называемые потоки Эрланга. Эти потоки образуются в результате «просеивания» простейших потоков.
Например, если из точек на оси t (рис. а) сохранить не все точки, а только каждую вторую, то в результате такой операции «просеивания» образуется снова поток событий; он называется потоком Эрланга второго порядка.
«Просеивание» событий начинает приводить к тому, что между точками появляется последействие, детерминация, которая тем выше, чем больше k. С увеличением k точки ложатся на ось времени все более равномерно, разброс их уменьшается, регулярность увеличивается.
Основано это на том, что сумма случайных величин есть величина неслучайная (центральная предельная теорема). Чем больше мы сложим случайных величин, тем предсказуемее будет результат (их сумма).
Очевидно, что
— интервал между событиями в потоке Эрланга k -го порядка.
Вообще, потоком Эрланга k -то порядка Эк называется поток, получающийся, если в простейшем потоке сохранить каждую k -ю точку, а остальные выбросить. Порядок потока — мера последействия потока. То есть обратной величиной к мере случайности потока является его порядок. Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай потока Эрланга, а именно поток Эрланга 1-го порядка Э1.
Интервал времени Т между соседними событиями в потоке Эрланга k -го порядка представляет собой сумму к независимых случайных величин - расстояний между событиями в исходном простейшем потоке:
Каждая из этих случайных величин распределена по показательному закону.
Закон распределения интервала T между соседними событиями в потоке Эк называется законом Эрланга k -го порядка.
Нетрудно получить следующие выражения для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения для интервала событий в потоке Эрланга k -го порядка:
Плотность вероятности распределения интервалов между случайными событиями в потоке Эрланга k -го порядка:
Где λk = λ/k — интенсивность потока Эрланга k-го порядка,
λ — интенсивность простейшего потока Пуассона,
λk интенсивность просеянного k раз потока, то есть в k раз меньше.
Обратите внимание, что в потоке Эрланга M ≠ σ, то есть в потоках с последействием равенство M и σ невозможно.
Более того, при k –> ∞ событие происходит строго в размеренное время, так как σ –> 0.
Сравните:
· Поток Эрланга 1 -го порядка: m = σ1 — поток без последействия;
· Поток Эрланга i -го порядка: m ≠ σ2, при этом (σ2 > 0) и (σ1 > σ2) разброс уменьшается, последействие увеличивается;
· Поток Эрланга ∞ -го порядка: m ≠ σ = 0 — регулярный поток.
Из этого следует, что порядок потока Эрланга — есть мера последействия потока.