1. Ответ: нет. Решение. Пусть цена Айфона 11 сегодня равна 1. Тогда 17 декабря его цена будет (1–х)(1–х), а цена Айфона 12 – (1+х)(1–2х). Из уравнения (1–х)(1–х)=(1+х)(1–2х) получаем 1–2х+х2=1–х–2х2, х=1/3. Айфон 11 17 декабря будет стоить 4/9, что на 500/9 % меньше, чем 15-го, 500/9 < 60.
Критерии. Правильное решение – 7 баллов. Иначе – 0 баллов.
2. Доказательство. Пусть a, b,..., z – цифры данного числа. Если сумма цифр a+b+...+z – чётна, то нечётных цифр – чётное число. Разделим каждую цифру на 2, сумма слагаемых уменьшится вдвое, но часть из них окажется нецелыми. Половину нецелых округлим вниз, остальные – вверх. Сумма не изменится. Составим из этих цифр первое слагаемое, а второе получим, отняв первое от исходного числа. Переходов через десяток не было, поэтому сумма цифр у второго слагаемого такая же.
Если сумма a+b+c...+z – нечётна, то сумма (a–1)+(10+b)+c+...+z чётна (она на 9 больше исходной). Разделим каждое слагаемое на 2 и округлим нецелые слагаемые половину вверх, половину вниз. Все новые слагаемые окажутся цифрами ввиду того, что 10+b меньше 19, а a–1 не меньше 0. Соберем из этих цифр первое слагаемое, а потом получим второе как раньше.
Критерии. Правильное решение – 7 баллов. Доказано лишь для четной суммы цифр – 3 балла, лишь для нечетной – 4 балла. Иначе – 0 баллов.
3. Ответ: 673 и 1010. Решение. Трех подряд лжецов быть не может, так как средний лжец не смог бы сказать ни одной из двух фраз. Значит, лжецы идут по одному или по двое. Ровно двух подряд рыцарей быть не может, т. к. последний из них не мог бы ничего сказать. Если же есть три подряд рыцаря, то, начиная с третьего и дальше, каждый – рыцарь, т.к. предыдущий говорит, что соседи – рыцари. Но тогда последний в ряду должен бы быть рыцарем, противоречие с условием. Значит, рыцари стоят поодиночке. Таким образом, среди любых трех подряд идущих жителей есть хотя бы один рыцарь (тогда рыцарей не меньше 673), среди двух подряд идущих жителей не более одного рыцаря (тогда рыцарей не больше 1010). Л-Р-ЛЛ-Р-ЛЛ-Р-…ЛЛ-Р-Л дает пример на 673 рыцаря, Р-Л-Р-Л-Р…Р-Л-Р дает пример на 1010 рыцарей.
Критерии. Примеры на 673 и на 1010 рыцарей – по 1 баллу. Корректная оценка снизу – 2 балла, корректная оценка сверху – 3 балла. Перечисленные оценки суммируются. Доказано, что не может идти трех подряд лжецов – 1 балл. Доказано, что не может идти двух рыцарей подряд – 2 балла.
4. Доказательство. Пусть О1 и О2 – центры окружностей С1 и С2, К – точка пересечения прямой О1О2 и l. Треугольники KO1E и KO2D подобны, поэтому KO2/KO1=O2D/O1E, (KO1+12)/KO1=3, KO1=6, угол O1KE равен 30°. Тогда углы KO2D и KO1E равны по 60°, углы BDE, О1ВЕ и ВЕО1 – по 30°. Значит, угол BED 60°, а угол EBD – прямой. Тогда центр окружности, проходящей через B, D и E, – середина DE. Пусть это будет точка О3. Угол О3ВЕ тогда 60°, а угол О3ВК – прямой. Значит, ВК – это и есть касательная к окружности С3, проходящая через В, надо доказать, что треугольник ВКЕ – равнобедренный. Так как углы О1ВЕ и О1КЕ равны по 30°, то ВКЕ – равнобедренный.
Критерии. Правильное решение – 7 баллов. Иначе – 0 баллов.
5. Доказательство. Если у ломаной сумма длин горизонтальных участков нечетна, эта ломаная не может быть замкнутой. Аналогично, сумма вертикальных участков ломаной четна. Значит, длина ломаной четна.
а) Если звеньев на границе нет, то клетки по обе стороны звена лежат в прямоугольнике, и сумма чисел в таких клетках равна удвоенной длине ломаной. Но общая сумма чисел в прямоугольнике равна 6*95, и тогда длина ломаной равна 3*95 – нечётна. Противоречие.
б) Продолжим сетку клеток за пределы прямоугольника, и впишем аналогичные числа в соседние с ломаной клетки вне прямоугольника. Это могут быть только 1. Теперь сумма будет удвоенным четным, то есть разделится на 4. Для этого к 6*95 надо добавить минимум 2, то есть снаружи есть по крайней мере две единицы. Значит, и единичных звеньев на контуре не менее двух.
Критерии. Правильное решение – 7 баллов. Доказана четность длины ломаной – 1 балл. Доказан пункт а) – 3 балла. Доказан пункт б) – 3 балла. Баллы суммируются.
6. Ответ: 6, 8, 12. Решение. Обозначим искомое число через х. Если х нечетное, то разность его собственных делителей четная, что не делит х. Значит, х четное. Если х – степень двойки (более чем вторая, т.к. 2 и 4 не имеют двух собственных делителей), то х/2–2 будет иметь вид 2k, где k – нечетный делитель, то есть 1. Значит, х=8.
Далее х – четное, имеющее нечетный делитель. Рассмотрим два его собственных делителя: 2 и р – наименьший нечетный (очевидно, тоже простое число). Тогда р–2 нечетно и не может являться собственным делителем числа х, то есть р–2=1, р=3. Пусть r – наибольший нечетный делитель числа, тогда r–2 с ним взаимно прост и нечетен, а значит r(r–2) – нечетный делитель числа. Такое возможно только если r–2=1, то есть r=3. Итак, число имеет вид 3*степень двойки. 6 и 12 подходят. Теперь рассмотрим случай, когда х/2 делится на 4. Тогда х/2–2 является делителем х и имеет вид 2l, где l – нечетное, то есть 3 или 1, откуда х=16 или 8, что невозможно, т.к. эти числа не кратны трем.
Критерии. Правильное решение – 7 баллов. Разобран случай нечетного х – 1 балл. Разобран случай степени двойки – 1 балл. Доказано, что 3 – единственно возможный нечетный собственный делитель – 2 балла.