В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.
Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.
Теперь мы минимизируем I = PXX + PYY при ограничении U (X, Y) = 
, где 
- определенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая
L = (PXX + PYY) - m [U (X, Y) - ]
Тогда имеем
(1)
Возьмем первые два уравнения из (1). Из них получаем
, (2)
где m - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/l. Если заменить в (2) m на 1/l и возвести уравнение в степень - 1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (4).
Решение задачи Стоуна для случая трех товаров
Пример 1
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим фунцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 2
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим функцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 3
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим функцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 4
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим функцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 5
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим фунцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Литература
1. Экономика. Учебник / Под ред. А. С. Булатова. – М.: Юристъ, 2001.
2. Микроэкономика. Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. – М.: ДИС, 2002.
3. Экономическая теория (политэкономия). Учебник / Под ред. В. И. Видянина, Г. П. Журавлевой. – М.: РЭА, 2000.
4. Курс экономики. Учебник / Под ред.Б. А. Райзберга. – М.: ИНФРА-М, 2000.
5. Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. Д. Камаева. – М.: Владос, 2001.
6. Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. И. Видянина, А. И. Добрынина, Г. П. Журавлевой, Л. С. Тарасевича. – М.: ИНФРА-М, 2000.
7. Микроэкономика. Учебник / Под ред. Е. Строганова, И. Андреева. – М.: Питер, 2002.
[1] Условия второго порядка базируются на сложных математической технике и ничего дополнительно изучающему начальный курс экономики не дают.