Знакоположительные ряды
(продолжение)
Интегральный признак Коши.
Теорема (интегральный признак Коши).
Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям:
1) принимает положительные значения на промежутке 
;
2) является монотонно убывающей (
);
3) 
;
4) 
.
Тогда ряд 
и несобственный интеграл 
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство:
Найдем 
и построим ступенчатые фигуры (см. рис. 5.1):
- 
- площадь большей ступенчатой фигуры.
- 
- площадь меньшей ступенчатой фигуры.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле: 
.
Очевидно, что:
.
Следовательно,
,
где 
- n -ая частичная сумма без первого слагаемого, 
- n-1 -ая частичная сумма без первого слагаемого.
Напомним определение расходящегося интеграла:
Интеграл называется сходящимся, если выполняется следующее условие:
.
Рассмотрим 4 случая:
1) если ряд сходится, то 
- ограниченна, следовательно,
и интеграл сходится.
2) если ряд расходится, то - неограниченна, следовательно, 
и интеграл расходится.
3) если интеграл сходится, то 
. Следовательно,
, т.е. ограниченна и ряд 
сходится (по критерию сходимости знакоположительных рядов).
4) если интеграл расходится, то 
, т.е. 
-
неограниченна и ряд расходится.
Ч.т.д.
Исследование поведения обобщенного гармонического ряда с помощью интегрального признака.
Мы уже отмечали, что 
. Теперь мы это докажем.
Пусть 
и пусть 
. Тогда функция y = f (x) удовлетворяет условию теоремы (см. п. 5.1).
Рассмотрим 
.
Отдельно рассмотрим случай, когда 
: 
- следовательно, интеграл расходится.
Замечание.
Интегральный признак удобно применять также для рядов вида
. Действительно,
.
При : 
- следовательно, интеграл расходится.
|
|
Оценка остатка знакоположительного ряда с помощью интегрального признака.
Из доказательства теоремы п. 5.1 следует, что
1) Оценка суммы ряда:
2) Оценка остатка ряда:
Напомним, что остаток rn – это ряд с первым членом an+1.
Примеры применения оценок:
1) показать справедливость неравенства 
.
Ряд 
сравним с интегралом 
. 
по оценке суммы 
.
2) какую погрешность допустим, если заменим сумму ряда 
на S5?
, 
, 
,
, 
, 
, 
. Позже мы покажем, что 
.
Признаки Раабе и Гаусса (необязательно).
Теорема 1 (признак Раабе).
и 
Теорема 2 (признак Гаусса).
и 
, где 
, то
1) 
сходится; 
расходится.
2) 
сходится; 
расходится.
Обзор экзаменационных задач на исследование знакоположительных рядов.
1. Задачи на сравнение an c 
( гармоническими рядами).
Пример:
Исследовать на сходимость ряд 
.
Т.к. 
при 
, то 
. 
ряд расходится по сравнению с обобщенным гармоническим рядом.
2. Задачи на сравнение an с геометрическими прогрессиями.
Пример:
Исследовать на сходимость ряд 
.
ряд 
сходится, т.к. члены ряда представляют собой геометрическую прогрессию с 
. Следовательно, исходный ряд так же сходится.
Задачи на применение необходимого признака сходимости.
Примеры:
1) Исследовать на сходимость ряд 
.
2) Исследовать на сходимость ряд 
.
С помощью уже рассмотренной формулы Стирлинга получим: 
.
Задачи на применение признака Даламбера.
Напомним, что,
Пример:
Исследовать на сходимость ряд 
.
.
Задачи на применение радикального признака Коши.
Пример:
Исследовать на сходимость ряд 
.
|
|
.