Пословицы и поговорки с использованием сс.
• Конь о 100 ногах и тот спотыкается.
• У 111 мамок дитя без глаза.
• За битого 10 небитых дают.
• За 10 зайцами погонишься – ни одного не поймать.
• Старый друг лучше новых 10.
• Один воин 1111101000 водит.
• Не держи 1100100 рублей, а держи 1100100 друзей.
• Не велик городок, до 111 воевод.
• В добрую голову 1100100 рук.
• 1010 раз смеряй, одинажды отрежь.
• Ум хорош, а 10 лучше.
• Богатый не то 10 раз обедает, а бедному мосол, он и сыт и весел.
• 10 медведей в одной берлоге не уживутся.
• Добрый друг лучше 1100100 родственников.
• 111 ворот и все в огород.
• С одного вола, 10 шкур не дерут.
• 111 пятниц на неделе.
• 111 пядей во лбу.
• Лентяй да шалопай – 10 братьев родных.
• Один с сошкой, а 111 с ложкой.
• У бедного Тимошки скота – то 10 кошек.
• Хата брата все богата: 10 полен, 11 ушат.
• За 1 ученого, 10 неученых дают.
• Хорошо ружьецо бьет, с печи упало 111 горшков разбило.
• Без 100 углов изба не рубится.
• За 111 печатями.
• 111 одного не ждут.
• От горшка 11 вершков.
• 1 дурак, а умных 101 ссорит.
• 1 дурак может больше спросить, чем 1010 умных ответить.
Мартышка-мама связала 111 своим непослушным детишкам по перчатке на каждую руку и ногу. Но они порвали все свои перчатки, кроме младшего, который порвал только 11. Сколько перчаток попадет маме в починку?
Ответ 25
Мартышка висит на хвосте и жует бананы. В каждой руке по 101 банану, а в каждой ноге – на 1 банан больше, чем в руке. Сколько бананов у мартышки?
Что будет на рисунке?
| 1(1,11) | 2 (101,11) | 3(101, 1001) | 4(1000, 110 |
| 5(101,11) | 6 (1010, 110) | 7(1001, 1) | 8(11,1) |
| 9(1,11) | 10 (101, 1001) | 11(101, 1010) | 12(1000, 1010) |
| 13(1000,1001) | 14 (101, 1001) |
Задачи по системам счисления.
1. Какой числовой эквивалент у цифры
6 в числах:
а) 6789; в) 16;
б) 3650; г) 69.
ответ:
а) 6 тысяч; в) 6 единиц;
б) 6 сотен; г) 6 десятков.
2. Вы знакомы с римскими цифрами. Первые три из них – I, V, X. Их легко изобразить, используя палочки или спички; так же легко выложить спичками минус, плюс и знак равенства. Ниже написано несколько неверно написанных примеров. Как можно получить верные решения, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?
VII – V = XI IX – V = VI
VI – IX = III VII – III = X
Решение:
Будьте внимательны – в каждом примере перенесена только одна спичка (палочка). Существуют и другие варианты решений.
VI + V = XI XI – V = VI
VI = IX – III VIII + II = X
3. Сравните числа VVV и 555.
Решение:
VVV < 555, так как
VVV = (5+5+5) = 15.
4. запишите в десятичной системе счисления числа:
а) MCMXCIX;
б) CMLXXXVIII;
в) MCXLVII.
Решение:
а) (1000) M
(1000 - 100) CM
+ (100 - 10) XC
(10 - 1) IX
1999;
б) 988;
в) 1147.
5. Запишите число, месяц и год своего рождения с помощью римских цифр.
Пример:
1 августа 1989 года
I VIII MCMLXXXIX
6. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. если эту цифру переместить на два разряда влево, то есть так, что с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.
Решение:
Исходное число ab 3 = a * 100 + b * 10 + 3.
Новое число 3 ab = 3 * 100 + a* 10 + b
По условию
3 * 100 + a * 10 + b = 3* (a* 100 + b * 10 + 3) + 1;
3 * 100 + a * 10 + b = 3 * a * 100 + 3 * b * 10 + 10;
3 * 100 + a * 10 + b = 3* a * 100 + (3 * b + 1) * 10 + 0.
Рассмотрим последнее равенство. Сравнивая коэффициенты при 100 (3 и 3 * a) и при 1 (b и 0), делаем вывод, что a = 1 и b = 0.
Таким образом, исходное число – 103.
7. Некогда был пруд, в центре которого вырос один лист водяной лилии. Каждый день число листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий.
Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к концу десятого дня.
Решение:
Для наглядности составим таблицу:
| день | ||||||||||
| листья |
Ответ: 9 дней, 1024 листа.
8. Этот случай вполне мог иметь место во времена «золотой лихорадки». На одном из приисков старатели были возмущены действиями Джо Макдональда – хозяина салуна, принимавшего от них в уплату золотой песок. Очень уж необычными были гири, с помощью которых тот взвешивал золото: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64 грамма. Джо утверждал, что с помощью такого набора гирь он может взвесить с точностью до грамма любую порцию золотого песка, вес которой не превышает 100 граммов.
Прав ли Джо Макдональд? Какой наибольший вес могут «взять» такие гири? Как с помощью названных гирь набрать вес:
а) 25 г; в) 72 г;
б) 48 г; г) 105 г.
Решение:
а) 25 = 16 + 8 + 1;
б) 48 = 32 + 16;
в) 72 = 64 + 8;
г) 105 = 64 + 32 + 8+ 1.
Наибольший вес получится, если задействовать все гири:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127.
9. Найдите такой набор из пяти гирь, чтобы, располагая их на одной чаше весов, можно было бы взвесить с точностью до 1 килограмма любой груз до 31 килограмма включительно.
Ответ: 1, 2, 4, 8, и 16 килограммов.
10. Каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 63 килограммов с точностью до одного килограмма, помещая гири только на одну чашу весов.
11. Один кладовщик оказался в большом затруднении: заказанный комплект гирь для простых чашечных весов не прибыл в срок, а на соседнем складе лишних гирь тоже не оказалось. тогда он решил подобрать несколько кусков железа разной массы и временно пользоваться ими как гирями. Ему удалось выбрать четыре такие «гири», с помощью которых можно было бы взвешивать с точностью до 100 гр. товар от 100 граммов до 4 килограммов. Подумайте какой массы были эти «гири».
Ответ: «гири» имели массу100, 300, 900 и 2700 г.
• Можно ли с помощью трех гирь (1, 3, и 9 кг.) взвесить с точностью до килограмма любой груз до 13 килограммов включительно, если гири можно располагать на обеих чашах весов, в том числе и на чаше с грузом?
Решение:
| Чаша с грузом | Чаша с гирями | |
| Груз | Гири | |
| - | ||
| - | ||
| - | 1, 3 | |
| 1, 3 | ||
| 1, 9 | ||
| - | ||
| - | 1, 9 | |
| 3, 9 | ||
| - | 3, 9 | |
| - | 1, 3, 9 |
13. Заполните следующую таблицу:
| Система счисления | Основание | Базис |
| Десятичная | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 | |
| Восьмеричная | ||
| 0,1,2,3,4,5 | ||
| Пятеричная | ||
| Троичная | ||
| 0,1 |
14. Заполните следующую таблицу, пользуясь для записи чисел десятичной системой счисления.
| Система счисления | основание | Разряды (степени) | ||||
| Десятичная | ||||||
| Восьмеричная | ||||||
| Шестеричная | ||||||
| Пятеричная | ||||||
| Троичная | ||||||
| Двоичная |
15. «Чудесная таблица». Запишем все числа от 1 до 15 в двоичной системе счисления.
110 = 00012 1010 = 10102
210 = 00102 1110 = 10112
310 = 00112 1210 = 11002
410 = 01002 1310 = 11012
510 = 01012 1410 = 11102
610 = 01102 1510 = 11112
710 = 01112
810 = 10002
910 = 10012
Выпишем теперь десятичные числа в четыре строки, придерживаясь следующего правила:
• В строку 1 записываем все числа, в двоичной записи которых есть единицы первого разряда (сюда попадут все нечетные числа);
• В строку 2 записываем все числа, у которых есть единицы второго разряда;
• В строку 3 – числа, единицы третьего разряда, и в строку 4 – числа, имеющие единицы четвертого разряда. Таблица будет иметь вид:
Теперь можно кому-нибудь предложить задумать любое число от 1 до 15 и указать в се строки таблицы, в которых оно записано. Пусть, к примеру, указали, что задуманное число находится в строках 1 и 3. Значит, задуманное число содержит в двоичной записи единицы первого и третьего разрядов, а единиц второго и четвертого разрядов в нем нет. Следовательно, задумано число 1012 = 510.
Запишите все числа от 1 до 31 в двоичной системе и заполните соответствующую таблицу из пяти строк.
16. Переведите следующие числа из двоичной системы счисления в десятичную:
• 1000 5) 0101
• 0001 6) 0111
• 0110 7) 0100
• 0011 8) 1001
9) 0010
Полученные числа впишите в соответствующие клетки квадрата.
Сложите числа в каждом столбце, каждой строке или в любой из диагоналей – и убедитесь, что данный квадрат магический.
Решение:
Сумма чисел в каждом столбце, каждой строке или в любой из диагоналей равна 15.
17. Отметьте и последовательно соедините на координатной плоскости точки, координаты которых записаны в двоичной системе счисления.
1 (101,101), 2 (1000,1000),
3 (1001,1000), 4 (1011,110),
5 (1100,110), 6 (1100,111),
7 (1011,111), 8 (1011,10),
9 (1001,10), 10 (1001,11),
11 (1010,11), 12 (1010,100),
13 (111,100), 14 (111,10),
15 (101,10), 16 (101,11),
17 (110,11), 18 (110,1001),
19 (111,1001), 20 (111,1000),
21 (10,1000), 22 (10,1001),
23 (11,1001), 24 (11,110),
25 (100,101)
18. Воспользуйтесь таблицей из номера 14, чтобы записать следующие числа:
а) в восьмеричной системе счисления: 7, 9, 24, 35, 57, 64
б) в пятеричной системе счисления: 9, 13, 21, 36, 50, 57
в) в троичной системе счисления: 3, 6, 12, 25, 27, 29
г) в двоичной системе счисления: 2, 5, 7, 11, 15, 25.
Ответ:
а) 7, 11, 30, 43, 71, 100
б) 14, 23, 41, 121, 200, 212
в) 10, 20, 110, 221, 1000, 1002
г) 10, 101, 111, 1011, 1111, 11001
19. Задача-игра. «Угадывание задуманного числа по отрезкам». Один из учеников (ведущий) задумывает некоторое трехзначное число, мысленно делит задуманное число пополам, если число нечетное, то от него отбрасывается единица. полученную половину опять делит пополам – и так до тех пор, пока не получится 0. При каждом делении ведущий чертит на доске новый отрезок ломаной, направленный вертикально, если делится нечетное число, и горизонтально, если делится четное число. Как на основании полученной фигуры безошибочно определить задуманное число?
Ответ:
Ломаная «расшифровывается» так. Движемся по отрезкам от первого до последнего. Вместо каждого отрезка справа налево записываются цифры. Вертикальный отрезок «заменяется» единицей, горизонтальный - нулем. Это двоичная запись задуманного числа.
20. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 22, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.
Ответ:
Минимальное основание системы счисления – 5.
Чтобы найти десятичный эквивалент чисел, записанных в пятеричной системе счисления, представим каждое число в виде суммы соответствующих разрядных слагаемых:
1235 = 1*25 + 2*5 + 3*1 = 3810
21. Запишите наибольшее двухзначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления:
а) восьмеричной системы счисления
б) пятеричной системы счисления
в) троичной системы счисления
г) двоичной системы счисления
решение:
а) 778 = 6310 в) 223 = 810
б) 445 = 2410 г) 118 = 310
22. Запишите наименьшее трехзначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления:
а) восьмеричной системы счисления
б) пятеричной системы счисления
в) троичной системы счисления
г) двоичной системы счисления
решение:
а) 1008 = 6410 в) 1003 =910
а) 1005 = 2410 г) 1008 = 410
22. Упорядочите следующие числа по убыванию:
1436 509 12223
10114 1100112 1238
Решение:
Переведем все числа в десятичную систему:
1436 = 63 509 = 45
12223= 53 10114= 69
1100112= 51 1238= 83
Ответ:
1238 , 10114, 1436 , 12223, 1100112, 509
23. В классе 1111002 % девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?
Решение:
Переведем числа в условии задачи в десятичную систему счисления.
В классе 60% девочек и 12 мальчиков. Сколько учеников в классе?
Ответ:
В классе 30 учеников.
24. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001-м классе. Может ли такое быть?
Ответ:
Может, если считать, что все данные приведены в двоичной системе.
25. В двоичной системе счисления таблица имеет вид:
0 + 1 =1,
1 + 1 = 10.
Составьте таблицы сложения в следующих системах счисления:
а) в восьмеричной системе счисления
б) в пятеричной системе счисления
в) в троичной системе счисления.
Решение:
Оформим таблицы сложения аналогично той, что приводится на обложках тетрадей в клетку:
а)
б)
в)
26. Выполните операцию сложения над двоичными числами:
а) 1011 + 100
б) 100100 + 101
в) 1011 + 1100
г) 1001 + 11
д) 11101 + 101
е) 1101 + 1011
Для того, чтобы убедиться в правильности полученных результатов, найдите десятичные эквиваленты слагаемых и суммы. Сложение удобно выполнять в столбик.
Ответ:
а) 1111
б) 10111
в) 10111
г) 1100
д) 100010
е) 11000
27. Найдите суммы следующих чисел в
• Троичной системе
а) 101 + 121 = 222
б) 2012 + 1211 = 11000
• Пятеричной системе
а) 221 + 104 = 330
б) 432 + 114 = 1101
• Восьмеричной системе
а) 66 + 43 = 131
б) 515 + 324 = 1041
28. В классе 1000q учеников, из них 120q девочек и 110q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?
Решение:
+ 120
проанализировав результат, получим q = 3, так как только в троичной системе счисления 2 + 1 = 10.
29. В саду 88q фруктовых деревьев, из них 32q яблонь, 22q груш, 16q слив и 17q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?
8 * q + 8 = 3 * q + 2 + 2 * q + 2 + 1 * q + 6 + 1 * q + 7
8 * q – 3 * q – 2 * q – 1 * q – 1*q = 2 + 2 + 6 + 7 – 8.
Ответ:
Деревья посчитаны в девятеричной системе счисления.
30. Было 53q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 136q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?
Решение:
+ 53
5 + 5 = 13 в семеричной системе счисления.
31. Один мальчик так написал о себе: «У меня 24 пальца, на каждой руке по 5, а на ногах по 12». Как это могло быть?
Решение:
Так как 5 + 5 = 12, то речь идет о восьмеричной системе счисления. Так что мальчик – абсолютно нормальный ребенок, изучивший восьмеричную систему счисления.
32. В бумагах одного математика найдена была его биография. Она начиналась следующими удивительными словами: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц и т.д.».
Чем объяснить странные противоречия числах?
Решение:
Недесятичная система счисления - вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Основание этой системы определяется фразой: «Спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком… ». если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 - наибольшая в этой системе (как 9 – в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. можно высказать предположение, что все числа в автобиографии записаны в пятеричной системе счисления, и путем несложных преобразований восстановить их истинный смысл.
33. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие числовому промежутку [1012, 11002]
Ответ:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
34. Запишите в двоичной системе счисления целые числа, принадлежащие числовому промежутку [1011012, 1100002]
Ответ:
101101, 101110, 101111, 110000.
35. Какое число предшествует каждому из данных:
а) 100012 б) 10002
Ответ для каждого числа запишите в двоичной и десятичной системах счисления.
Ответ:
а) 100002 = 1610 б) 1112 = 710
36. Выполните операцию вычитания над двоичными числами:
а) 1100 – 10 = 1010
б) 1000 – 11 = 101
в) 1100 – 111 = 101
г) 11011 – 1110 = 1101
37. Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, в следующих примерах на сложение и вычитание, определив вначале. В какой системе изображены числа:
а) + 2?21
123?
?203
б) + 5?55
?327
?16?4
в) + 21?02
?1212
? 2?021
г) - 4?5
?56
д) - 1536
?42
67?
Ответ:
а) + 2421
1232 пятеричная с\с
б) + 5255
4327 восьмеричная с\с
в) + 21102
21212 троичная с\с
г) - 425
136 семеричная с\с
д) - 1536
642 восьмеричная с\с
38. Дайте «серьезные» ответы на «несерьезные вопросы».
Вопросы Ответы
Когда 2*2=100? в 2-ичной с\с
Когда 2*2=11? в 3-ичной с\с
Когда 10 – число в любой с\с с
нечетное? нечетным
основанием.
Когда 2*3=11? в 5-ичной с\с
Когда 3*3=13? в 6-ичной с\с
Когда 21+24=100? в 5-ичной с\с
Когда 22+44=100? в 6-ичной с\с
Когда 3+4=7, а 3*4=13 в 9-ичной с\с
Когда 6*6=44? в 8-ичной с\с
Когда 4*4=20? в 8-ичной с\с
39. Выполните операцию умножения над двоичными числами:
а) 101 * 10 = 1010
б) 11 * 11 = 1001
в) 110 * 11 = 10010
г) 101 * 111 = 100011
40. Выполните операцию деления над двоичными числами:
а) 1100: 100 = 11
б) 100100: 1100 = 11
в) 10010110: 101 = 1111
г) 1000000: 111 = 100101
41. Вычислите значения двоичных выражений:
а) (11001 - 111): 10 = 101
б) 1100100: 100 – 1111 = 1010
в) 110001: 111 – 100 = 11
г) 11 * 11 + 1011 = 10100
42. Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:
а) 1100? 11? 100 = 100000
б) 1100? 10? 10 = 100
в) 1100? 10? 10 = 110000
г) 1100? 10? 10 = 1011
д) 1100? 11? 100 = 0
Решение:
Переписав условие в десятичной системе, получим:
а) 12 * 3 – 4 = 32
б) 12: 2 – 2 = 4
в) 12 * 2 * 2 = 48
г) 12 – 2: 2 = 11
д) 12 – 3 * 4 = 0
43. Фокусник высыпает на стол монеты на сумму 3 рубля и предлагает задачу: разложить деньги по 9 кошелькам так, чтобы можно было уплатить любую сумму до 3 рублей, не открывая кошельков. Как можно разложить монеты? Напоминаем, что существовали монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 копеек.
Ответ:
Монеты можно разложить так:
1, 2, 4, 4, 16, 32, 64, 128 и 45 копеек.