Ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un
Если сущ. конечный предел: 
, то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.
Геометрический и
Арифметический ряды
Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз. геометрическим: 
или
а+ а×q +…+a×qn-1
a ¹ 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: 
следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q
Возможны случаи:
1 |q|<1 
т. е. ряд схд-ся и его сумма 
2 |q|>1 
и предел суммы так же равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n×a 
ряд расходится
4 при q¹1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии: 
u – первый член, d – разность. Сумма ряда 
при любых u1 и d одновременно ¹ 0 и ряд всегда расходится.
3 С-ва сходящихся рядов
Пусть даны два ряда: u1+u2+…un = 
(1) и v1+v2+…vn = 
(2)
Произведением ряда (1) на число l Î R наз ряд: lu1+lu2+…lun = 
(3)
Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:
(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = 
(для разности там только - появица)
Т1 Об общем множителе
Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа l ряд =l × тоже сходится и его сумма S’ = S×l Если ряд (1) расходится и l ¹ 0, то и ряд тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.
|
|
Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: тоже сходится и если s его сумма, то s = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn) так и сходиться (если un=¹vn)
Для ряда (1) ряд 
называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = 
Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + rn
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
Необходимый
Признак сходимости рядов
Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: 
Док-во: 
Sn=u1+u2+…+un
Sn-1\u1+u2+…+un-1
un=Sn-Sn-1, поэтому:
Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.
Интегральный признак
сходимости ряда. Ряд Дирихле
Т1 Пущай дан рядт (1), члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1>=u2>=u3…>=un
Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на [1,+¥] такая, что f(n) = Un, " n Î N, то для сходимости ряда (1) необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл: 
, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот расходился (ВАУ!).
|
|
Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: 
, a Î R Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при a >0 общий член оного un=1/na à0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/xa (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле равнозначна сходимости расходимости интеграла: 
Возможны три случая:
1 a >1, 
Интеграл а потому и ряд сходится.
2 0<a<1,
Интеграл и ряд расходится
3 a=1,
Интеграл и ряд расходится
6 Признаки сравнения
Т(Признаки сравнения)
Пущай 
и 
ряды с неотрицательными членами и для любого n выполняется нер-во:
un<=vn (1)тогда
1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un
2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!!
Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.
Т3 Засекреченная
Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:
(0<k<+¥) тада оба эти ряда сходятся.
|
|