Свойства поверхностного интеграла I рода




Поверхностные интегралы I и II рода.

Интеграл по площади поверхности (поверхностный интеграл первого рода)

Обобщением двойного интеграла для функции трех переменных приводит нас к понятию поверхностного интеграла, который конструктивно выводится, так же как и криволинейные.

Пусть в некоторой области поверхности S, ограниченной замкнутой кривой L пространства Oxyz определена непрерывная функция f(x,y,z).

Разобьем поверхность S на n частей с площадями и выберем в каждой из них некоторую точку и составим интегральную сумму:

(1)

Определение: Если предел интегральной суммы (1) при n→∞ и существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек внутри них, то он называется поверхностным интегралом I рода.

Теорема (существования). Если поверхность S гладкая (т.е. в каждой точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x,y,z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл I рода существует.

Свойства поверхностного интеграла I рода

1. , где с–const.

2.

3. Если поверхность S разбить на части и , так, что , то

4. , где S площадь поверхности.

5.

6. Если f(x,y,z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка такая, что

2. Вычисление поверхностного интеграла I рода.

Вычисление поверхностного интеграла I рода, при условии, что поверхность S правильная в направлении оси Oz, сводится к вычислению двойного интеграла по области D, где D проекции поверхности S на плоскость xOy.

Разобьем поверхность S на n части с площадью , при i=1,…, n, при этом проекции поверхности S в плоскости xOy так же оказывается разбитой на n частей с площадью каждой .

Выберем в произвольном участке точку и восстановим перпендикуляр к плоскости xOy, до пересечение с поверхностью S в точке расположенной на участке .

Построим к точке касательную плоскостью, и рассмотрим ту её часть , которая проектируется на плоскость xOy в область .

Обозначим через , острый угол между осью Oz и нормалью к поверхности в точке , тогда

(2)

Если поверхность S задана уравнение z=z(x,y), то координаты нормального вектора в точке примут вид , а острый угол между ортом k={0,0,1} и нормалью к поверхности S в точке , найдём из:

Таким образом равенство (2) примет вид:

и переходя к пределу получим:

Если же поверхность S задана уравнениями y=y(x,y) или x=x(y,z) т.е. правильная соответствие в направлении оси Oy или Ox, то аналогично получим:

где и проекции поверхности S в плоскости xOz и yOz соответственно.

 

 

Пример 1. Вычислить где S часть плоскости 4x+3y+2z–4=0 расположенной в I октане.

1.

2.

3.

Пример 2. Вычислить где S часть цилиндрической поверхности отсекаемой плоскостями z=0, z=2.

1.

2.

3.

 

Пример 3. Вычислить , где S – часть поверхности цилиндра , при y>0, вырезаемая поверхностями и .

1. Изобразим искомую поверхность

а. Построим цилиндр

б. Заменим построение параболоида построением цилиндра полученного исключением из уравнений и .

2. Поверхность S имеем уравнение , найдем по проекции на плоскость xOz, это полоса от х=2 до х=3 ограниченный параболой

3.

Задача. Вычислить поверхностный интеграл I рода где –часть поверхности z=x2+y2, расположенная между плоскостями z=0 и z=1.

1. Данная поверхность – часть эллиптического параболоида z=x2+y2, взаимно однозначно проектируется на плоскость xOy в круг x2+y2≤1.

2. Используя уравнение поверхности, находим: z=x2+y2, =2x, =2y,

.

Перейдем к полярным координатам: , ,

; , , , ,

3. Приложение поверхностного интеграла I рода.

а. Площадь поверхности цилиндра.

Если поверхность S задана уравнением z=z(x,y) вместе со своими производными непрерывна в области D плоскости xOy, где D проекция поверхности S, то

б. Масса поверхности.

Если функция есть функция распределения плотности по поверхности S, то масса поверхности равна

в. Моменты и центры тяжести поверхности.

1. Моменты инерции относительно осей и начала координат:

 

2. Статические моменты материальной поверхности S относительно координатных плоскостей.

 

3. Координаты центра тяжести материальной поверхности S

 

Пример. Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию до оси Oz.

1. ,

2.

, для удобства вычислений перейдём в полярную систему координат.

 

3.

 

4. Поток жидкости через поверхность. Поверхностный интеграл II рода.

Рассмотрим установившееся течение жидкости в пространстве через данную точку , когда скорость частиц жидкости зависит только от координат точки и не зависит от времени. В каждой точке рассматриваемой пространственной области V задан вектор скорости частицы жидкости в этой точке

(3)

Плотность жидкости будем считать постоянной и равной единице.

Определение: Потоком жидкости через поверхность называется количество жидкости, свободно протекающее через неё за единицу времени.

Пусть скорость течения жидкости одинакова во всех точках области и равна . Тогда поток жидкости П через прямоугольник , расположенный в плоскости перпендикулярной вектору скорости , будет равен

.

Такое же количество жидкости протекает и через прямоугольник ABCD расположенный в плоскости, вектор нормали к которой составляет с вектором скорости угол .

Пусть S – площадь фигуры ABCD, а значит , тогда

,

где есть проекции вектора на нормаль .

В общем случае в рассматриваемой пространственной области вектор скорости определяется соотношением (3). Найдем поток жидкости через поверхность S.

Для этого разобьем поверхность на n частей произвольным образом, площадь каждой части обозначим . На каждой площадке выберем произвольную точку . Будем считать, что площадки плоские, и в пределах каждой площадки скорость жидкости постоянна и равна скорости в точке . Тогда приближенное выражение для потока жидкости через поверхность S имеет вид

(4)

Заметим, что – есть проекция вектора скорости на направление . Единичный вектор нормали задаётся направляющими косинусами углов, которые он образует с осями координат

тогда с учетом (3) имеем

где

Переходя к пределу при и при условии, что каждая площадка стягивается в точку, мы получим выражение для потока жидкости П:

Определение: Предел интегральной суммы при , если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек называется поверхностным интегралом второго рода и обозначается

(5)

Замечание: Если поверхность S замкнута, то поверхностный интеграл по её внешней стороне обозначается , а по внутренней .

 

Свойства поверхностных интегралов II рода:

1. Поверхностных интегралов II рода зависит от направления нормали к поверхности. Обычно различают две стороны поверхности:

а) нормаль внешняя +S, для которого ;

б) нормаль внутренняя –S, для которого ;

Тем самым интеграл изменяет знак при перемене стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл обладает свойством аддитивности, т.е. если то

5. Если цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Ox, Oy, Oz, то

5. Вычисление поверхностных интегралов II рода.

Метод проекции на все три координатных плоскости.

Интегралы (5) удобно вычислять как сумму трех интегралов. Начнем с последнего слагаемого

Пусть поверхность S задана уравнение .

Возьмем элемент dxdy области – проекции поверхности на плоскость Oxy и элемент поверхности S проектирующийся в элемент dxdy. Нормаль к площадке образует острый угол с положительным направлением оси Oz. Будем считать, что в пределах площадки, направление нормали не меняется, т.е. рассматривается как часть плоскости, касательной поверхности S в точке M. Тогда в силу получим

Знак определяется знаком направляющего косинуса в силу двусторонности поверхности S.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-07-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: