Метод деления отрезка пополам для решения уравнений

Задания на лабораторную работу №4

«Программирование численных методов»

Составить отчет, в котором содержится задание, листинг программы, числовые и графические результаты расчета. Поиск значения функции в методах нахождения интеграла и корней оформить в виде m-функции, сам метод в виде m-сценария. Построить график функции.

№	Задание
1.	Найти корень уравнения f(x)=0,25x3+x-1,25=0 на интервале [-2;2], используя метод деления пополам. Процесс вычисления корня закончить при выполнении условия .
2.	По формуле правых прямоугольников с шагом h=0,2 вычислить интеграл .
3.	Решить с точностью 0,001 методом деления пополам нелинейное уравнение на интервале [-2,2].
4.	По формуле левых прямоугольников с шагом h=0,01 вычислить интеграл
5.	Найти корень уравнения на интервале [3;4], используя метод деления пополам. Процесс вычисления корня закончить при выполнении условия .
6.	По формуле правых прямоугольников с шагом h=0,2 вычислить интеграл .
7.	Решить с точностью 0,001 на интервале [0;1] методом деления пополам нелинейное уравнение .
8.	Решить с точностью 0,001 методом последовательных деления пополам нелинейное уравнение на интервале [1; 5].
9.	По формуле трапеций с шагом h=0,1 вычислить интеграл .
10.	Найти корень уравнения f(x)=5x4+2x-10=0 на интервале [-10;10], используя метод деления пополам. Процесс вычисления корня закончить при выполнении условия .
11.	По формуле левых прямоугольников с шагом h=0,1 вычислить интеграл

Теоретические сведения

Метод левых прямоугольников (трапеций)

Геометрический смысл интеграла – площадь, которую ограничивает функция и ось 0Х. Метод заключается в разбиении этой площади на элементарные прямоугольники.

Отрезок разбивается на равных частей: , где . На участках , функцию для метода левых прямоугольников заменяют на отрезок, проходящий через левую точку функции параллельный оси 0X (см. рисунок).

Рисунок 1 – Графическая интерпретация метода левых прямоугольников

Численному значению интеграла полученной функции на участке будет соответствовать сумма площадей полученных прямоугольников

Метод деления отрезка пополам для решения уравнений

В функциях приводимых в задании предполагается, что они обладают непрерывными производными, кроме того, отделен корень уравнения - это значит найден такой интервал (a, b), который, во-первых, содержит корень уравнения и, во-вторых, содержит только один корень этого уравнения. Доказывается, что если на концах некоторого интервала (a, b) функция имеет разные знаки, а внутри этого интервала производная знак не меняет, то в интервале (a, b) корень уравнения есть и, при том, только один.

Отсюда возникает простая методика приближенного поиска корня, отделенного в интервале (a, b): надо построить последовательность точек по следующему правилу:

1. Вычисляется функция в точках a, b, (a+b)/2;

2. Определяется тот из двух интервалов [a, (a+b)/2] и [(a+b)/2, b] на концах которого функция имеет разные знаки (т.е. функция пересекает ось);

3. Передвигаем границу, со стороны которой от середины не имеет корня в середину (a=(a+b)/2 или b=(a+b)/2 в зависимости от предыдущего шага);

4. Итерацию повторяют до достижения некоторой точности вычислений . Последнее значения границ перед прерыванием построения последовательности и принимается за приближенное с заданной степенью точности значение корня.