Связь циклической и линейной свертки

Свойства ДПФ

Свойства ДПФ аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье, однако дискретный характер привносит некоторую специфику

Линейность, задержка – данные свойства аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье.

Симметрия. Подобно спектру непрерывного вещественного сигнала, спектр ДПФ так же обладает свойством симметрии

Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая) представляет собой сумму отсчетов последовательности на одном периоде:

Если N четно, то амплитуда гармоники с номером N/2 является суммой отсчетов с чередующимися знаками

Спектр является "сопряженно-симметричным" относительно N/2, т. е. содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. В самом

деле, исходная последовательность представляется набором из N вещественных чисел. Спектр же представляется набором из N/2 (вторая половина взаимно однозначно связана с первой) комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Если же исходная последовательность {x(k)} не является вещественной, симметрия спектра отсутствует и N комплексным отсчетам во временной области соответствует N комплексных отсчетов в спектральной области.

ДПФ произведения последовательностей

Возьмем две последовательности отсчетов {x₁(k)} и {x₂(k)} одинаковой длины N и вычислим результат их поэлементного умножения:

y(k) = x₁(k)x₂(k)

Если применить ДПФ, то получится спектр

Это выражение представляет собой круговую свертку спектров X₁(n) и X₂(n)

Итак, как и для непрерывного преобразования Фурье, спектр произведения является сверткой спектров.

Свертка функций

В дискретном случае различают два вида сверток: линейную (или апериодическую) и циклическую. Циклическую свертку еще часто называют круговой или периодической.

Круговая свертка

Рассмотрим циклическую свертку. В случае циклической свертки предполагается, что дискретные сигналы и - периодические с одинаковым периодом отсчетов. Тогда круговой сверткой сигналов и называется сигнал вида:

Результат циклической свертки также имеет длину отсчетов.

Рассмотрим циклическую свертку на примере двух сигналов и . Графически вычисление циклической свертки представлено на рисунке 3.

Красной линией отмечены границы периодов повторения сигнала . Заметим, что в силу периодичности сигналов .

Вычислим свертку пошагово:

Теперь рассчитаем :

Аналогично можно рассчитать и .

Линейная свертка

Рассмотрим линейную свертку. Пусть имеется два дискретных сигнала , , и , . В общем случае длины этих сигналов и могут отличаться. Линейной сверткой сигналов и называется дискретный сигнал вида:

Для вычисления линейной свертки сигналы и сдвигают относительно друг друга почленно перемножают и складывают. При этом предполагается, что при и , а также при и

пример вычисления линейной свертки двух сигналов длиной 4 отсчета и длиной 3 отсчета.

Связь циклической и линейной свертки

Используя циклическую свертку можно рассчитать линейную свертку двух сигналов. Для этого необходимо каждый из сигналов и длительностью и отсчетов соответственно дополнить нулями до длины .

Приведем пример вычисления линейной свертки через циклическую для длиной 4 отсчета и длиной 3 отсчета (этот пример был рассмотрен выше).

Дополним нулями и , так чтобы в каждой последовательности было по 6 отсчетов.

Вычислим циклическую свертку как это показано на рисунке

Можно сравнить с результатом самого первого примера для линейной свертки и убедится в том, что значения совпадают

Заключение к подразделу: Для чего нужно различать два вида сверток? При преобразовании Фурье, мы получаем математический аналог циклической свертки. Связанно это с тем, что циклическая свертка получается при сворачивании периодических сигналов. А спектр дискретного сигнала по определению – периодический.

При этом, при анализе линейных стационарных систем, выходной сигнал таких систем есть линейная свертка входного сигнала и импульсной характеристики ЛС системы.

Матрица ДПФ

ДПФ имеет вид

С другой стороны, ДПФ является линейным преобразованием, трансформирующим вектор временных отсчетов в вектор такой же длины, содержащий отсчеты спектральные. Такое преобразование может быть реализовано как умножение некоторой квадратной матрицы на входной вектор-столбец:

У = А Х

где A — матрица преобразования (матрица поворотных множителей). В случае ДПФ эта матрица имеет вид

Общая формула для элемента матрицы, расположенного в n-м столбце m-й строки, выглядит так:

Вычисление ДПФ путем умножения матрицы на вектор полностью соответствует формуле ДПФ. Этот метод требует большого количества вычислительных операций, поэтому на практике вместо него применяются быстрые алгоритмы преобразования Фурье БПФ.