Лекция 2 Векторы.
Множество Rn. Линейная зависимость, независимость векторов. Базис в пространстве Rn.
Rn – это множество, элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел (а1, а2, …, аn) =` a, которые будем называть “векторами”.
В Rn определены операции: сложение векторов и произведение векторов на число аналогично матричным операциям..
Определение 2.1. Линейной комбинацией векторов
` а1, `а 2, ¼, `а n с коэффициентами l1, l 2, ¼, l n называется вектор
`b = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼+ l n`a n.
Определение 2.2. Система векторов {` а1, `а 2, ¼, `а n } называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных. В противном случае она называется линейно независимой (то есть ни один из векторов данной системы нельзя представить в виде линейной комбинации остальных).
Определение 2.3. Совокупность элементов B = {` b1, `b2, ¼, `b n } Ì Rn
называется базисом в Rn, если любой элемент ` х Î Rn можно единственным образом представить в виде:
`х = х1`b1 + х2 `b2 + …+ хn`bn, xi Î Rn; i = 1, 2, …, n. Коэффициенты 
разложения вектора 
по базису называются координатами вектора относительно данного базиса
Критерий базиса. Для того, чтобы система В была базисом в Rn необходимо и достаточно, чтобы ∆ (` b1, `b2, ¼, `b n) ≠ 0.
Естественный базис в Rn образуют векторы
` е1 = (1, 0, 0,…, 0); ` е2 = (0, 1, 0,…, 0); … `еn = (0, 0, 0,…, 1)
Определение 2.4. Скалярным произведением векторов
и 
называется число 
равное сумме произведений одноименных координат: 
.
Свойства скалярного произведения
1. 
(коммутативность);
2. 
(дистрибутивность);
3. 
(ассоциативность по отношению к умножению на число);
4. 
Норма вектора в Rn
Определение 2.5. Нормой вектора в Rn называют число
.
Свойства нормы вектора
1. Для любого 
, причем 
тогда и только тогда, когда 
.
2. Для любого и числа 
.
3. Для любых 
справедливо неравенство треугольника: 
.
Определение 2.6. Если векторы 
и 
ненулевые, то углом между ними называется число 
, вычисляемое из соотношения:
 .
|
Определение 2.7. Вектора и из 
называются ортогональными, если 
Два ненулевые вектора в 
(или в 
) ортогональны тогда и только тогда, когда угол между ними равен 
, то есть когда эти векторы перпендикулярны.
 |  | ||
Векторное произведение в R3.
C
 |
Определение 2.8. Векторным произведением вектора ` а на ` b в R3 называется вектор` с (см. рисунок):
а) норма которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах ` а и ` b, как на сторонах;
б) вектор ` с перпендикулярен к плоскости параллелограмма;
 |
в) направлен так, что кратчайшее вращение вектора ` а к вектору `b мы
наблюдаем с конца вектора ` с совершающимся против часовой стрелки (говорят также, что (` а, `b, `c) – правая связка).
Векторное произведение обозначают ` с =`а ´`b.
Теорема. (Выражение векторного произведения через координаты векторов).
Если ` a = (а1, а2, а3), ` b = (b1, b2 , b3), то ` a ´`b вычисляется по формуле: 
где ` i, `j,`k образуют естественный базис в R3: 
.
Свойства векторного произведения
1. 
(антикоммутативность);
2. 
(дистрибутивность);
3. 
;
4. 
тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы.
Смешанное произведение трех векторов.
Определение 2.9. Смешанным произведением векторов ` a ` b и `с называется скалярное произведение вектора` а на вектор ` b´`c, то есть ` 
.
1) Если векторы ` а, `b, `c заданы своими координатами, то 
2)Абсолютная величина смешанного произведения трёх векторов равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах V =½` a`b`c ½.
Объём пирамиды, построенной на векторах ` а,`b,`c равен 
Свойства смешанного произведения векторов
1. 
2. Если в смешанном произведении поменять местами два любых сомножителя, то смешанное произведение изменит знак (например, 
= 
);
3. Смешанное произведение дистрибутивно по каждому переменному (например, 
);
4. 
(ассоциативность по отношению к умножению на число);
5. =0 тогда и только тогда, когда векторы 
линейно зависимы.
Определение 2.10. Проекцией вектора на ненулевой вектор 
называется число
пр  ,
|
где – угол между векторами и .