Решение.
Решение.
f '(x) + _ +
___________________-1___________________0_______0,5_____________х
f(x) ↑ max ↓ min ↑
В точке х = -1 функция f(x) непрерывна, и при переходе через эту точка производная функции
меняет знак с «+» на «-», значит х = -1 – точка максимума. Других точек максимума функции нет.
Ответ: х = -1.
Решение.
Для нахождения наибольшего целого значения функции найдем сначала множество значений
функции. Так как функция 
непрерывна и возрастает при t ≥0, то достаточно найти наибольшее
и наименьшее значение функции 
.
Решение.
5. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 104, а площадь одной из его граней
в 3 раза больше площади другой грани. Найти наименьшее значение суммы длин всех ребер этого
параллелепипеда.
Решение.
B 
C
A D 
z
B C
x
A y D
Пусть измерения параллелепипеда будут х, у, z. Тогда площадь поверхности параллелепипеда
будет 2(ху + хz +уz). Пусть площадь грани АВСD в 3 раза больше площади грани АВВ А . По ус-
ловию имеем: 2(ху + хz + yz) = 104, xy = 3xz. Сумма длин всех ребер будет 4(х +у + z). Из равенства
ху = 3хz следует, что у = 3z. Тогда 3хz + xz + 3z² = 52 или 
и сумма длин ребер принимает
вид 
Рассмотрим функцию 
По условию х > 0, y > 0, z > 0, a тогда 52 – 3z² >0
и 
Найдем наименьшее значение функции f(x) на промежутке 
На этом промежут-
ке f (z) непрерывна и дифференцируема. 
Критические точки: f 
(z) =0. x = ±2.
Так как промежуток открытый, то исследуем функцию f(z) на экстремумы, применив дос-
таточное условие минимума функции.
f (z) _ +
_______________0__________________2_______________________ 
__________z 
f(z) ↓ min ↑
В точке z = 2 функция f(x) непрерывна и при переходе через эту точку производная её меняет знак
с «-» на «+», следовательно это точка минимума, а так как на промежутке 
функция имеет
единственный минимум, то наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в той
же точке. В качестве функции мы брали сумму длин ребер параллелепипеда, значит наименьшее
значение длин всех ребер параллелепипеда будет 
Ответ: 52.
6. Найти наибольший объем правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 3.
Решение.
1) V(SABC) = 
Пусть АВ = х, тогда
S(ABC) = 
. Выразим через х высоту SO.
S 
, где R – радиус окружности
описанной около основания. 
Тогда SO =
= 
.
2) Рассмотрим функцию 
. По условию за-
дачи х > 0 и 27 - х² > 0, a тогда 
Найдем наиболь-
В шее значение функции f(x) на промежутке 
. На этом
А О промежутке f(x) непрерывна и дифференцируема.
К 
Найдем критические точки. Производная
С существует во всех точках рассматриваемого промежутка,
поэтому достаточно решить уравнение f '(x) = 0.
является критической точкой функции. Исследуем функцию на экстремумы.
f '(x) + -
_______________0___________________ 
______________ 
_______________х
f(x) ↑ max ↓
В точке х = функция f(x) непрерывна и при переходе через эту точку производная меняет знак
с «+» на «-», значит эта точка максимума функции. А так как, на промежутке 
функция f(x)
имеет единственный максимум, то на этом промежутке наибольшее значение достигается в этой
же точке. 
Итак наибольший объем пирамиды с боковым ребром 3 равен 4,5.
Ответ: 4,5.
Упражнения.
1. Найдите значение функции в точке максимума. 
2. Найдите точки максимума функции 
3. Найдите минимум функции 
4. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [0; 2].
5. Найдите наибольшее целое значение функции 
6. Найдите наименьшее целое значение функции 
.
7. Найдите наименьшее значение функции f (x) = 2 Cos 2x – 12 Sin x – 6.
8. Найдите наибольшее значение функции f(x) = 5 + 4 Cos x - Sin²x, при 
.
9. Найдите наибольшее значение функции 
10. Найдите наибольшее значение функции 
11. Найдите наибольшее значение функции 
12. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника, со сторонами, параллельными осям
координат, и с диагональю ОМ, где О – начало координат, а М – точка на графике функции
13. Точка А лежит на графике функции 
, точка В – на оси Ох,
и её абсцисса в 2 раза больше ординаты точки А. Найдите наибольшее значение площади треуголь-
ника ОАВ, где О – начало координат.
14. Найдите наибольшее значение площади прямоугольника со сторонами параллельными осям коорди-
нат, и диагональю ОР, где О – начало координат, а Р – точка на графике функции
15. Точка А лежит на графике функции 
, а точка В лежит на оси Ох,
и её абсцисса в 4 раза больше ординаты точки А. Найдите наибольшее значение площади треуголь-
ника ОАВ, где О – начало координат.
16. В прямоугольной трапеции основания равны 11 и 13, а меньшая боковая сторона равна 2.Через каж-
дую точку меньшей боковой стороны проведена прямая, пересекающая меньшее основание и отсе-
кающая от трапеции прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение
площади оставшейся части трапеции.
17.Найдите наибольший возможный объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна
18. Стороны прямоугольника равны 5 и 14. Через каждую точку меньшей стороне проведена прямая,
отсекающая от прямоугольника треугольник с периметром 18. Найдите наибольшее значение пло-
щади отсеченного треугольника.
19. Найдите наименьшее значение площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с
квадратным основанием, если известно, что объём данного параллелепипеда равен 125.
20. Число 26 представьте в виде суммы 3 – х положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов
была наименьшая и чтобы второе слагаемое было втрое больше первого.
Ответы: 1. 
. 2. 
. 3. -7. 4. 1,2. 5. 8. 6. 22. 7. 4. 8. 9. 9. 324. 10. 2. 11. 
.
12. 24 -6 ln0,75. 13. 14 + 2π. 14. 32. 15. 16 + 6π. 16. 
. 17. 
. 18. 
.
19. 150. 20. 26 = 4 + 12 + 10.