Числа натуральные, целые, рациональные и иррациональные.

Знакомство с количественными соотношениями начинается с прямого счета: 1, 2, 3, 4, 5, …. Им пользуются при определении количества однородных предметов: тетрадей, книг, CD дисков и т. д. Результат достигается сложением положительных целых чисел. Например, следующее за числом число получается прибавлением единицы к . Все такие числа образуют совокупность (множество) натуральных чисел, которое обозначается заглавной буквой латинского алфавита:

(1)

В фигурных скобках указаны элементы этого множества.

Определение–пояснение: множеством называют совокупность однородных элементов, объединенных общим свойством или признаком.

Обратный счет встречается при решении задач, связанных с вычитанием из одного натурального числа второго. Например, вычитая из числа единицу, получим число . Вычитая единицу раз, подряд, из числа , получим число «0», обозначающее отсутствие перечисляемых предметов, их количество равно нулю. Дальнейшее вычитание приводит к отрицательным числам: , ≡ и т. д. Вычитание обратно сложению. Так равенству отвечает число , получаемое вычитанием большего числа 5 из меньшего числа 3. Натуральные числа, число «0» и отрицательные целые числа образуют множество целых чисел. Это множество обозначают заглавной буквой латинского алфавита:

(2)

Арифметическая операция «умножение» является сокращенной записью сложения одинаковых чисел. Так запись , не зависящая от порядка множителей, обозначает равные количества, получаемые сложением или четырех чисел 3, или трех чисел 4: .

Операция «деление» появляется, как операция обратная умножению. Уравнение обращается в тождество для значения . Но не всегда уравнение , где и , имеет решением число . Когда не делится без остатка на , получаем нецелое число

(3)

“Довиетовские” алгебраисты ограничивались заявлением, что «такое деление не возможно». Сейчас это рациональные числа.

Несократимые (положительные и отрицательные) дроби , где , , дают множество рациональных чисел, которое обозначают заглавной буквой латинского алфавита, . Все рациональные числа представляются периодическими десятичными дробями. Так, 2/3 = 0,66666… = 0,(6).

Степень числа – это сокращённая запись умножения нескольких одинаковых чисел. Так, при определении, например, общей длины приставленных друг к другу трех одинаковых стержней, по 3 см каждый, мы получим . Для математики не существенны единицы измерения складываемых однородных величин, то есть величин одинаковой размерности. Важны только количественные соотношения. Тогда в нашем случае , и говорят: «три в степени 2 равно 9». В общем случае произведение одинаковых чисел « » записывают сокращенно, как « » в степени , то есть , где « » – основание и – степень.

Для операции «возведение в степень» обратной будет операция «извлечение корня». Так, для извлечённым корнем будет: . Говорят: «корень -ой степени из числа ». Операция «извлечение корня» записывает решение уравнения: . Замечание: когда – четное число, тогда , так как проверка даёт .

В отличие от уравнения с решениями , для которых , решениями уравнения являются числа . Они уже не принадлежат ни множеству целых, ни множеству рациональных чисел, . Знак « » обозначает объединение множеств и . Такие числа, как: , ,… число « », число « » и др. представляются бесконечными непериодическими дробями. Их объединяют в множество иррациональных чисел, обозначаемое заглавной буквой латинского алфавита.

Иррациональное число появляются, например, когда несколько отрезков «несоизмеримы». Для них нельзя найти отрезок конечной длины, укладывающийся целое число раз в каждом из измеряемых отрезков. Так, иррациональность числа связана с несоизмеримостью катетов равнобедренного прямоугольного треугольника с его гипотенузой; – иррациональное число, так как ребра куба несоизмеримы с его объемной диагональю; число – иррациональное число вследствие несоизмеримости длины окружности с ее диаметром. Число тоже иррациональное число, так как оно по определению равно бесконечной сумме убывающих рациональных чисел:

, (4)

где , читают «число эн факториал». «Эн факториал» равен произведению всех натуральных чисел от 1 до . По определению 0! ≡ 1.

Объединённая совокупность целых, рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел. Его обозначают заглавной буквой латинского алфавита:

. (5)

Важно, что действительные числа «сплошь » заполняют числовую ось. То есть между любыми двумя сколь угодно близкими числами можно вставить бесконечное число действительных чисел. Аналогичным свойством обладают и рациональные числа: «между двумя не равными рациональными числами всегда можно вставить тоже рациональное число». Это свойство действительных (и рациональных) чисел играет «важную» роль в теории пределов, изучаемой в этом семестре. Но вычисления на ЭВМ нарушают это свойство действительных чисел. Дело в том, что машинное представление числа с конечной мантиссой и порядком всегда содержит только конечное число чисел. А множества чисел, которыми мы пользуемся, бесконечные. Это может привести к ошибочному результату при решении на ЭВМ и нелинейных уравнений, и систем линейных уравнений, и дифференциальных уравнений. Об этом, по крайней мере, нужно знать и, по возможности, проверять полученное решение на «здравый смысл », а в определенных частных случаях проверять и его совпадение с уже имеющимися очевидными результатами.

Стоит отметить, что расширение числового «множества» от натуральных чисел до действительных чисел не является произвольным. Несмотря на ожидаемое появление «более сложных» множеств чисел по мере включения в рассмотрение новых типов задач и новых уравнений, например, степенных, показательных и т. д., такие усложнения не могут быть произвольными…

«В природе» имеется некий механизм (схема) расширения числового множества (числового поля). Фундаментальная идея, дающая такую общую схему, сформулирована немецким математиком Германом Хенкелем в 1867 г. Её элементы ранее рассматривал Уильям Гамильтон. Её называют «принципом перманентности ». Согласно этой схеме:

1. Среди элементов расширенного числового множества содержится последовательность натуральных чисел.

2. Есть критерий, устанавливающий равенство или неравенство всех элементов числового множества, а в случае, когда элементы являются натуральными числами, этот критерий превращается в известное правило сравнения натуральных чисел.

3. Для любых двух элементов множества задаётся схема сложения и умножения, подчиняющаяся перестановочному, сочетательному и распределительному законам. Она обязательно превращается в схему действия над натуральными числами, когда элементы множества являются таковыми.

Комплексные числа.

Дальнейшее расширение числового «множества» связано с рассмотрением задач, которые на множестве действительных чисел не имеют решения. Например, уже простейшее квадратное уравнение

, (6)

не имеет решения на множестве действительных чисел. Ясно, что квадрат любого действительного числа не может быть числом отрицательным, и оно в сумме с положительным числом 1 дает число большее нуля, ? Но если считать, по определению, числом, называемым «мнимой единицей», уравнение (6) обращается в тождество при таком х = . Обозначают это число буквой .

Тогда, согласно (6), основное свойство числа :

. (7)

Решением аналогичного уравнения теперь будет . Проверку результата даёт тождество: .

Определение функции , читают «модуль числа »:

Модуль любого действительного числа , , всегда имеет неотрицательное значение, получаемое согласно следующему «предписанию»:

. (8)

Усложним задачу. Решим теперь квадратное уравнение

, (9)

Для любых . Известно, что оно имеет действительное решение

, (10)

если дискриминант уравнения , и такого решения нет, если иначе. Но применение в случае мнимой единицы со свойством (7) позволяет явно записать и получить явные решения уравнения (9) в виде двух новых, комплексных,чисел с мнимой единицей:

; (10´)

В комплексных числах и – их действительная часть. Их записывают, как . Далее, – мнимая часть комплексного числа и – мнимая часть комплексного числа . Это записывают, как . Числа и в (10´) вещественные, и .

Числа и называют комплексно сопряженными. Обозначают комплексное сопряжение или «*» справа вверху от числа, или чертой над ним

, . (11)

Операция комплексного сопряжения меняет только знак мнимой части комплексного числа z на противоположный знак (см. равенства (10´)).

Каждую формулу (10´) надо считать, как единую запись комплексного числа в координатной форме. Это одно число, состоящее из двух частей:

. (12)

Комплексное число , у которого отлична от нуля мнимая часть, = , называют существенно комплексным числом.

Модулем комплексного числа (12) называют неотрицательное значение

(13)

Каждому комплексному числу, записанному в форме (12), соответствует упорядоченная пара вещественных чисел: . Эту упорядоченную пару чисел можно рассматривать и, как координаты точки на ортогональной декартовой плоскости , и, как декартовые координаты вектора , проведенного из начала ортогональной системы в точку . Наоборот каждой точке и, соответственно, вектору равенство (12) ставит в соответствие комплексное число , . Горизонтальную ось О х «комплексной плоскости» обозначают , а мнимую ось О у – .

Угол , который радиус-вектор образует с положительной осью О х, называют аргументом комплексного числа и обозначают . Поворот радиус вектора на угол даёт то же значение (12) комплексного числа. Поэтому значение для комплексного числа определяется с точностью до целочисленного значения , . Если значение аргумента комплексного числа такое, что , его обозначают . Ясно, что

, (14)

Поскольку период функции равен , что меньше 2 в (14), в применениях обратной тригонометрической функции для определения надо «компенсировать » это свойство функции , т.е.:

, (15)

где , если точка находится в 1-ой и 4-ой четвертях, , если точка из второй четверти, и , когда точка находится в 3-ей четверти.

Для прямоугольного треугольника (см. ниже Рис. 1) можно записать очевидные тождества с тригонометрическими функциями и ,

, (16)

Их применение в (12) даёт тригонометрическую форму комплексного числа:

. (17)

Рисунок 1.

Замена в (17) на , где , вследствие периодичности тригонометрических функций не изменяет значение числа .

Определение: Два комплексных числа равны, если, соответственно, равны их действительные и мнимые части.

После применения в (17) известной формулы Эйлера

, (18)

получим экспоненциальную, показательную, форму комплексного числа

. (19)

Формула (18) будет доказана в теории рядов Тейлора. Она следует из равенства рядов, представляющих левую и правую части этого тождества. (Числовые и функциональные ряды изучаются во втором семестре).

Связь между комплексными числами и векторами на плоскости (с их проекциями на координатные оси) становится полной после определения операции сложения комплексных чисел, и :

. (20)

Разность комплексных чисел определяется, как операция обратная сложению: , где знак « » обозначает «равносильность» равенств. Отсюда , . Решение этих уравнений даёт

(21)

Равенства (20) и (21) полностью совпадают с равенствами для проекций суммы и разности двух векторов, что иллюстрируют рисунки 2 и 3.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

На рисунке 3 в точку направлен вектор , который однозначно соответствует разности комплексных чисел , определяемой по формуле (21). Взаимное соответствие между комплексными числами и векторами на плоскости, с точностью до их сложения и вычитания, называют изоморфизмом множеств комплексных чисел и векторов на плоскости.

Этот изоморфизм используется, например, в электротехнике. Расчеты сложных электрических цепей с равным успехом проводят и «методом векторных диаграмм», и «методом комплексных амплитуд». Результат тот же.

Произведение двух комплексных чисел определяется как алгебраическая операция умножения двучлена на двучлен . После учёта и приведения подобных отдельно для величин, не содержащих множителем мнимую единицу , и для величин, содержащих её, получаем

. (22)

Применение тригонометрической или показательной форм записи чисел: , под­тверждает правило (22). Действительно, для их произведения получаем

(23)

Модуль числа в (23) равен произведению модулей перемножаемых комплексных чисел, , а его аргумент φ – сумме аргументов, .

По правилу умножения комплексных чисел (23) можем записать m- ую степень для комплексного числа :

. (24)

При из (24) следует известная формула Муавра:

, (24′)

для любого целого показателя степени .

Операция деления комплексных чисел определяется, как операция обратная операции их умножения. Равенство равносильно равенству . Тогда верно: и . Отсюда следует: , . Поэтому для частного можем записать:

(25)

При переходе к координатной записи для результата деления (25) и умножения (23) комплексных чисел здесь применены равенства: , , и .

Операция «извлечение корня» – это операция обратная «степени числа». Но в пространстве комплексных чисел извлечение корня любой степени уже не является однозначной операцией. Действительно, то, что число является корнем -ой степени из комплексного числа , равносильно . Отсюда для их модулей и аргументов (сравни (18) и (24)) верны равенства:

, . (26)

Вследствие неоднозначности и (см. (14)) тождество для аргументов в (26) следует рассматривать, как равенство множеств:

, . (27)

Поэтому из первого уравнения (26) получаем одно значение модуля

. (26′)

А из равенств (27) имеем значений аргумента корня, , интервал изменения которого не превышает . Разные различает индекс :

, , где . (27′)

Общая формула для различных значений корня из комплексного числа:

. (28)

В ней . Возведение каждого корня (28) в -ую степень даёт . Соединив начало координат плоскости , где и , с точками , изображающими комплексные числа (28), получим -конечную звезду (см., например, ниже Рис. 4). Её лучи равны, потому что у всех одинаковые значения модуля .

Пример 1. Для комплексного числа найти модуль и аргумент, записать его в тригонометрическом и экспоненциальном виде. Определить все корни 5-ой степени из этого комплексного числа.

Решение.

Модуль числа равен:

Так как , и поэтому точка лежит в первой четверти, то в формуле (15) и :

.

Запишем это число в тригонометрическом и экспоненциальном виде:

.

Вычислим модуль для корня 5-ой степени из числа по формуле (26′)

.

По формуле (27′) мы получим пять различных значений аргумента, разность между которыми не превышает ,

, .

Из-за , значение корня с повторяет его значение с : и . Равна и следующая пара корней. Поэтому только 5 различных значений корня:

,

,

,

,

.

В записанных формулах значения приведены к стандартному интервалу: , . Точки комплексной плоскости, соответствующие комплексным числам , делят окружность радиуса с центром в начале координат на пять равных дуг (см. Рис. 4).

Рисунок 4.

Задача решена.

Операция комплексного сопряжения (11) связана с заменой на . Такой операции отвечает отражение вектора на Рис. 5 относительно оси . После отражения он совпадает с вектором .

Комплексное сопряжение над результатом каждого арифметического действия равносильно замене всех комплексных чисел, участвующих в нём, на комплексно сопряженные числа. Соответствующее отражение всех векторов относительно оси для операции сложения проиллюстрировано на Рис. 5. Отражение всех сторон параллелограмма относительно оси О х приводит к отражению относительно этой оси и всего параллелограмма (Рис. 5).

Рисунок 5.

Ниже приведены все тождества для арифметических операций, связанные с операцией комплексного сопряжения:

1) ,

2) ,

3) ,

4) , (29)

5) ,

6) ,

7) .

Тождество 1) и аналогично тождество 2) легко доказать геометрически, что и проиллюстрирует рисунок 5.

Тождества 3), 4), 5) и 6), 7) легко доказываются с помощью тригонометрической записи комплексного числа. Например,

Другие функции комплексного аргумента будут рассмотрены позже.

Замечание: При выполнении операций сложения и вычитания удобнее применять координатную запись комплексного числа, , а при умножении, делении, возведении в степень или при извлечении корня из комплексного числа удобнее применять тригонометрическую или показательную запись комплексного числа, .

Равенство комплексных чисел, , как и векторов, , связано с равенством их координат: и . Равносильные им равенства: и , . Изоморфные этим комплексным числам вектора также равны, если равны их длины и направления.

Замечание: Из изоморфизма комплексных чисел и векторов на плоскости следует, что комплексные числа можно сравнивать только по модулю. То есть можно проверить выполнение неравенства или , но неравенства и не имеют смысла. Это нужно учитывать при решении уравнений или неравенств, содержащих комплексные числа.

«Принцип перманентности » Германа Хенкеля выполняется для множества комплексных чисел. Поэтому оно является допустимым расширением множества вещественных чисел. Проверим это. Во первых, множество комплексных чисел содержит последовательность натуральных чисел с у = 0 и х = : , ,.... Во вторых, для множества таких чисел, из следует , и верно при . В третьих, схемы их сложения (20) и умножения (22) переходят в схемы умножения и схемы сложения натуральных чисел, подчиняющиеся перестановочному, сочетательному и распределительному законам.

Пример 2. Вычислить: , если .

Решение:

Для и число принадлежит четвертой четверти комплексной плоскости и поэтому в формуле (15) :

.

По определению (13):

.

Теперь запишем в показательной и тригонометрической форме:

.

По правилу (24) вычислим так же степень комплексного числа:

Задача решена.

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение:

Пусть , тогда квадратное уравнение имеет дискриминант .

Поэтому для него получим два комплексно сопряженных решения:

; , где .

Учитывая обозначение и формулу (28) для корня комплексного числа получим три значения , и для кубического корня из и три значения , , для кубического корня из комплексного числа .

Для : , -ой четверти, в формуле (13) и поэтому .

По формулам (28) получаем:

,

,

Здесь учтено стандартное ограничение на допустимые значения :

.

Решая аналогичное уравнение , получаем что , -ей четверти, в (13) и .

В этом случае из формул (28) следует:

,

,

.

Всем решениям уравнения отвечают точки, лежащие на круге радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости (см. Рис. 6).

Рисунок 6.

Задача решена.

Пример 4. Решить неравенство: .

Решение:

Такое неравенство имеет смысл, если его можно свести к неравенству для модуля комплексного числа.

Учитывая, что согласно (10) и , получим неравенство . Оно не содержит мнимой единицы и превращается в неравенство только для вещественных координат точек плоскости, которое ограничивает их допустимые значения:

.

Выделяя полные квадраты, получим эквивалентное неравенство

, (*)

Оно эквивалентно неравенству для модуля комплексного числа , поэтому неравенство (*) имеет решение.

В случае равенства в (*) из него следует уравнение окружности

(**)

радиуса с координатами её центра:

Поделиться: