Раздел 1. Пределы и их свойства
Тема 1.2. Понятия и свойства функции. Предел функции
План
1. Числовые множества.
2. Функция одной переменной.
3. Простейшие элементарные функции
4. Построение графиков функций
5. Пределы, их свойства.
Числовые множества
Опр. Множество Х называется подмножеством множества У, если каждый элемент множества Х является элементом множества У.
Пример1.1 Препараты, относящиеся к антидепрессантам, являются подмножеством психотропных средств.
Пример1.2
| N |
| Z |
| I |
| Q |
| R |
Натуральные числа – числа, которые используются для счёта предметов. N = {1, 2, 3, 4, …..}
Целые числа – натуральные числа и число 0. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде 
. Q = N + Z + 
Иррациональные числа – числа, которые нельзя представить в виде . I = {π, ℓ, 
}
Действительные числа – объединение рациональных и иррациональных чисел. R 
.
Функция одной переменной
Опр. Переменная величина у называется функцией (или зависимой переменной) переменной величины х, называемой аргументом, или независимой переменной, если каждому допустимому значению х соответствует определённое значение у.
Множество значений, которое принимает переменная величина х, называют областью определения. Множество значений у, которое принимает функция, называют областью значений функции.
Способы задания функций:
1. Аналитический – правило соответствия задаётся в виде формулы.
2. Табличный – используется при проведении экспериментальных исследований. При этом данные заносятся в таблицу.
3. Графический – представляет запись изменения различных величин, например, от времени.
4. Словесный.
Нахождение области определения и области значений функции
При нахождении области определения функции, заданной аналитическим путём, независимая переменная принимает те значения, при которых функция существует. При этом следует учитывать, что:
1. Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля;
2. Корень чётной степени существует, если подкоренное выражение не отрицательно;
3. Корень нечётной степени существует при любом значении подкоренного выражения;
4. Функция 
определена на множестве всех действительных чисел, т. е. 
;
5. Логарифмы отрицательных чисел не существуют;
6. Область определения функций 
является множество всех действительных чисел, т. е. ;
7. Функция у = tg x определена, если 
;
8. Функция у = arcsin x и y = arсcos x определены, если 
.
Для нахождения области значения функции необходимо подставлять значения аргумента в аналитическую формулу и определять границы, в которых находятся изменения зависимой переменной.
Пример 2.1 
.
ООФ: 
ОЗФ: 
.
Обратная функция
Если для каждого значения у из множества значений функции у = f (x) становиться в соответствие одно или несколько значений х из области определения функции, то такая зависимость называется обратной функцией и обозначается х= У(у)
Чётные и нечётные функции
Опр. Функция у = f (x), определённая на промежутке, симметричном относительно начала координат, называется чётной, если для любого значения х из этой области определения f(-x) = f(x), и нечётной, если f(-x) = - f(x).
Периодические функции
Опр. Функция у = f (x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что f (x+Т)= f (x) для любого х из области определения функции.