Тема 1.3. Преобразования простейших выражений.
Теперь перейдем к упрощению логарифмических выражений. Для них нам понадобятся свойства логарифмов, которые мы с Вами уже знаем (
):
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Глядя на формулы, выделим основные моменты, которые нам пригодятся при упрощении выражений, содержащих логарифмы:
для использования формул 3 и 4 выражение под логарифмом нужно представить в виде произведения или частного. Часто эти формулы применяют справа налево; для использования формул 5 и 6 выражение под логарифмом и в основании логарифма нужно представить в виде степени числа; для использования формул сложения, вычитания, деления логарифмов их основания должны быть одинаковы.
Итак, потренируемся упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами.
Задание 5. Вычислить:
Решение. Выражение под логарифмом и его основание можем представить в виде степени числа 
:
→ 
Получаем:
Можем воспользоваться свойствами логарифма:
выносим как множитель, 
– в знаменатель. Получаем:
По определению логарифма, 
. В итоге исходное выражение равно 
:
Задание 6. Упростить выражение:
Решение. Видим деление логарифмов с одинаковыми основаниями - можем применить свойство:
Получаем:
По определению:
В итоге получаем:
Задание 7. Вычислить:
Решение. 
мы не можем представить в виде степени числа . Зато можем разложить на множители:
По свойствам логарифмов получаем:
Осталось вычислить 
. Тут уже ничего не упростить, нужно воспользоваться калькулятором. Но в большинстве калькуляторов вы найдете лишь функции 
и 
- натуральные и десятичные логарифмы. Как же, используя их, вычислить ? Здесь нам пригодится формула перехода к новому основанию:
По ней:
Вычисляем на калькуляторе приблизительные значения:
Тогда: 
Исходное выражение:
Теперь посмотрим, как можно упрощать логарифмические выражения с использованием эквивалентного определения логарифма – основного логарифмического тождества:
Видим, что для применения формулы нужно, чтобы основание степени и основание логарифма совпадали. Сделать это можно, опять же, представляя выражения в виде степеней.
Задание 8. Вычислить:
Решение. Основание степени и логарифма отличаются. Для использования основного логарифмического тождества представим 
. Тогда по свойству степеней:
Осталось внести множитель перед логарифмом как степень:
Теперь основания степени и логарифма одинаковы. Можем применить основное логарифмическое тождество:
Задание 9. Упростить выражение:
Решение. Здесь уже основание логарифма можем представить в виде степени пятерки:
Применяем свойств логарифма:
Теперь множитель перед логарифмом можем внести как степень:
Как и в предыдущем задании, мы получили одинаковые основания степени и логарифма и можем применить основное логарифмическое тождество:
Задание 10. Найдите значения выражений:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Решение.
Задание 11. Найдите значения выражений:
а) 
;
б) 
.
Решение.
Задание 14. Вычислите: 
.
Решение.
Домашнее задание.
