Если поперечное сечение задается как плоская фигура, ограниченная кривой 
на отрезке 
(рис.1.11), то площадь и статические моменты сечения можно вычислять, используя обычные интегралы. Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную функцией 
на отрезке 
(рис.1.11)
Площадь и статические моменты определяются по известным из курса высшей математики формулам [1]:
| 
| 
| (1.12) |
Рис. 1.11 Плоская фигура, ограниченная кривой 
на 
Приведем аналогичные формулы для осевых и центробежного моментов инерции:
 ,
|  ,
|  .
| (1.13) |
Представим вывод формул (1.13).
Разобьем криволинейную трапецию на 
частичных трапеций с помощью прямых, параллельных оси ординат, пересекающих ось абсцисс в точках 
, 
, 
,…, 
, 
(рис.1.12). Заменим каждую частичную трапецию прямоугольником, высотой которого является значение функции 
в средней точке 
частичного интервала: 
, а основание 
. Центр тяжести каждого построенного прямоугольника известен: он расположен в точке 
.
Рис. 1.12 К выводу формул (1.13)
1) Момент инерции прямоугольника относительно собственной центральной оси 
равен (см.(1.11)): 
. Момент инерции прямоугольника относительно оси 
, параллельной центральной (см. (1.8)):
.
Момент инерции 
прямоугольников определяем как сумму 
. Устремляем 
и все 
, 
. Пределом интегральной суммы будет интеграл 
.
2) Момент инерции прямоугольника относительно собственной центральной оси 
, равен (вторая формула (1.11)): 
. Момент инерции прямоугольника относительно оси 
(см. (1.8)) равен 
. Момент инерции прямоугольников определяем как сумму 
. Устремляем и все , . Слагаемые 
имеют третий порядок малости относительно 
, и поэтому ими можно пренебречь. Пределом интегральной суммы будет интеграл 
.
Центробежный момент инерции прямоугольника относительно центральных осей равен нулю (третья формула (1.11)). Центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей 
, параллельных центральным осям равен 
. Центробежный момент инерции прямоугольников определяем как сумму 
Устремляем и все , Пределом интегральной суммы будет интеграл 
.
Пример 1.3 Найдем координаты центра тяжести прямоугольного треугольника 
, 
(рис.1.13), осевые и центробежный моменты инерции.
Используем формулы (1.12) для 
и 
.
Рис. 1.13Прямоугольный треугольник
Уравнение прямой 1-2: 
. Отрезок интегрирования 
, 
. Площадь 
. Статические моменты 
.
Координаты центра тяжести: 
; 
.
Таким образом, центр тяжести в прямоугольном треугольнике удален от вершины прямого угла на 1/3 длин катетов.
Из курса аналитической геометрии известно, что координаты центра тяжести произвольного треугольника определяются через координаты вершин треугольника по формулам:
 ,
|  .
| (1.14) |
Например, для треугольника (рис.1.13) получим:
; 
.
Определим центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно центральных осей 
, 
(рис.1.13).
Сначала определим 
, а затем с помощью формул (1.13) найдем 
. Воспользуемся формулой (1.13). В данном случае уравнение прямой . Отрезок интегрирования 
, 
. Площадь 
. 
.
Из формулы (1.8) имеем
.
Осевые моменты инерции:
;
;
;
.
Пример 1.4 Найдем координату центра тяжести полукруга 
(рис.1.14). Используем формулу (1.12) для 
.
Рис. 1.14 Полукруг
Уравнение дуги полуокружности 
, 
, 
. Статический момент равен
,
. Следовательно, 
.
Момент инерции относительно оси 
.
Пример 1.5 Определить центробежный момент инерции для четверти круга.
Определим сначала центробежный момент инерции 
для четверти круга (рис.1.15). Воспользуемся формулой (1.13). В данном случае уравнение 
. Отрезок интегрирования 
, 
.
Рис. 1.15 К определению моментов инерции четверти круга
.
Относительно центральной оси
.
Центробежный момент инерции относительно центральных осей 
В табл. 1 представлены значения осевых и центробежного моментов инерции для простых фигур относительно собственных центральных осей.
Геометрические характеристики прокатных профилей приведены в приложении 1.