Понятие функции нескольких переменных

Пусть каждой упорядоченной паре чисел из некоторой области соответствует определенное число . Тогда z называется функцией двух переменных и , , – независимыми переменными или аргументами, D – областью определения или существования функции, а множество Е всех значений функции – областью ее значений. Символически функция двух переменных записывается в виде равенства , в котором - закон соответствия. Всякое уравнение определяет в декартовой системе координат некоторую поверхность. Под графиком функции двух переменных понимают геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют соотношению .

С геометрической точки зрения область определения функции двух переменных D представляет собой множество точек плоскости Оху, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается D, во втором случае – открытой.

Пример. Найти область определения функции

Решение. Запишем функцию в виде Функция определена для тех значений и , которые удовлетворяют неравенству . Геометрически это означает, что функция определена во множестве точек, лежащих внутри окружности и на ее границе.

Пример. Найти область определения функции

Решение. Так как функция одной переменной определена для значений аргумента из отрезка , то искомая область определения функции двух переменных найдем из условия откуда Графически область определения данной функции будет заключена между двумя концентрическими окружностями: причем включаются и точки, принадлежащие окружностям.

Пример. Найти область определения функции

Решение. Должно выполняться требование Эта дробь будет положительна, когда положителен ее знаменатель, т.е. когда x ² – y ² > 0, или y ² < x ², а это влечет за собой неравенство

Рассмотрим два случая: 1) , 2) .

1) Если , то , и тогда , или . Геометрически это означает, что область определения, есть часть правой полуплоскости (т.к. рассматриваются значения ), ограниченная прямыми и , причем точки, лежащие на этих прямых, не рассматриваем.

2) Если , то , и тогда , или .

Последние неравенства определяют ту часть левой полуплоскости, которая находится между прямыми и , причем точки, принадлежащие этим прямым, не рассматриваем.

Величина u называется функцией переменных величин x₁,x₂,…,x_n, если каждой точке М (x₁,x₂,…,x_n), принадлежащей некоторому множеству X, поставлено в соответствие одно определенное значение величины u. Переменные x₁,x₂,…,x_n называются аргументами или независимыми переменными. Множество X называется областью определения функции. Если u функция переменных величин x₁,x₂,…,x_n, то пишут: u=f (x₁,x₂,…,x_n).

В основном мы будем рассматривать функции двух и трех переменных:

z = f (x, y) – функция двух переменных,

u = f (x, y, z) – функция трех переменных.

Как и функции одной переменной, функции двух переменных могут быть заданы таблицей, аналитически (формулой) и графически.

Табличное задание функции двух переменных состоит в том, что для каждой пары значений независимых переменных (x,y) указывается соответствующее им значение функции.

При аналитическом способе задания функции двух переменных задается формула, при помощи которой по заданным значениям независимых переменных x,y, можно найти значение функции.

Если функция z = f (x, y) определена в некоторой области X на плоскости XOY, тогда каждой точке (x, y), принадлежащей области X, будет отвечать точка (x, y, f (x, y)) трехмерного пространства R³.

Множество всех таких точек (x, y, f (x, y)) называется графиком функции z = f (x, y). Иными словами графиком функции z = f (x, y) двух независимых переменных x и y называется множество точек, абсциссы и ординаты которых являются значениями x и y, а аппликаты – соответствующими значениями z. Графиком функции непрерывных аргументов обычно служит некоторая поверхность. Например, графиком функции z=x ² + y ² является эллиптический параболоид, графиком функции z = x + y является плоскость.