Записать решение задач из видео-урока

Тема: Некоторые следствия из аксиом

На этом уроке мы рассмотрим некоторые следствия из аксиом. Рассмотрим и докажем теорему о том, что через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Рассмотрим и докажем теорему о том, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Далее с помощью аксиом и двух теорем-следствий мы решим несколько задач

Предлагаю Вашему вниманию видео урок по ссылке:

https://www.youtube.com/watch?v=uockeNnyLSA

Условные обозначения:

Материал учебника: с. 6-7 читать, разобрать, выучить следствия из аксиом.

Классная работа: Пользуясь видео уроком, в тетради сделать запись и начертить:

Теорема 1 и ее доказательство

Рис. 2.

Дано: Прямая a, M

 

Доказать:

1) Существует плоскость.

2) Плоскость α единственна

Доказательство первого пункта:

Докажем, что существует плоскость . На прямой Выберем любые две точки Р и Q: . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.

По аксиоме А₁, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит и прямую a, и точку М, существует.

Доказательство второго пункта:

Следует доказать единственность такой плоскости.

Предположим, что существует иная плоскость , которая проходит и через точку М, и через прямую a. Например, это будет плоскость, проходящая через точки Q’и P’, прямой a, и точку M. Но тогда эта плоскость проходит и через прямую a, и через точку М, а значит, и через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость совпадает с плоскостью . Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана.

Теорема 2 и ее доказательство

Рис. 3.

Дано:

Доказать:

1) Существует плоскость .

2) Такая плоскость единственна.

Доказательство:

На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть .

Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой . По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью . Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую и точку N, существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b, так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости. То есть и прямая и прямая b принадлежат плоскости Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте.

Докажем единственность этой плоскости.

Предположим противное. Пусть существует иная плоскость , такая, которая проходит и через прямую , и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую , и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость совпадает с плоскостью .

Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

 

III. Закрепление изученного материала
1. Прочитать формулировки следствий из аксиом.

Записать решение задач из видео-урока

Подведение итогов

Мы повторили аксиомы стереометрии, познакомили со следствиями и применили их при решении задач..

Домашнее задание

Повторить аксиомы А1-А3.

Выучить следствия из аксиом .

Прочитать пункт 3.

Задачи 6,8,9