Проекция и прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера

ЛЕКЦИЯ №3

Изобразить поверхность эллипсоида на плоскости без ее иска­жений невозможно, поэтому приходится строить плоские изобра­жения земной поверхности с учетом некоторых, заранее принятых математических зависимостей между координатами точек на эл­липсоиде и их изображением на плоскости. Способы условного изображения земной поверхности на плоскости называются кар­тографической проекцией.

При проектировании на плоскость задаются математические зависимости вида:

Х=f_l(B,L);

Y=f₂ (В, L),

где X, Y — плоские прямоугольные координаты.

Разработано большое количество различных видов картогра­фических проекций, отличающихся видом функций f₁, и f₂, и имею­щих различные виды неизбежных искажений. В одних проекциях искажаются по определенному закону все проектируемые элемен­ты: горизонтальные углы и линии, но сохраняются отношения пло­щадей. В других не искажаются утлы, в связи с чем сохраняется подобие бесконечно малых фигур.

Для составления топографических карт на территории бывше­го СССР с 1928 г. принята так называемая проекция Гаусса-Крю­гера.

В проекции Гаусса-Крюгера вся земная поверхность делится меридианами на шести- или трехградусные зоны. Выбор размера зоны будет объяснен несколько позже.

Рассмотрим свойства проекции Гаусса-Крюгера при разделе­ние земной поверхности на шестиградусные зоны. Границами шес­тиградусных зон являются меридианы с долготой, кратной шести градусам, т. е. меридианы с долготой 0,6,12,... градусов. Зоны нуме­руются арабскими цифрами, начиная с первой от гринвичского меридиана. Внутри каждой зоны центральный меридиан выбирается осевым с долготой, рассчитываемой по формуле L₀= 6 °N- 3*, где N номер зоны.

В проекции Гаусса-Крюгера в каждой зоне осевой меридиан представляет ось абсцисс (ОХ), а экватор представляет ось ординат (OY). Они изображаются на плоскости взаимно перпендикулярны­ми прямыми (рис. 1).

Проекция Гаусса - Крюгера имеет следующие особенности:

— перенос с эллипсоида на плоскость осуществляется по зо­нам;

— на осевом меридиане каждой зоны искажения отсутствуют, т. е. масштаб изображения равен единице;

— проекция обладает свойством осевой симметрии, т. е. в точ­ках, симметрично расположенных относительно осевого меридиа­на искажения одинаковы;

—
проекция конформна, т. е. при проектировании углы не ис­кажаются, и сохраняется подобие бесконечно малых фигур.

Запишем следующий общий вид формул перехода от эллипсо­идальных к прямоугольным координатам:

X=f_l(B,ΔL);

Y=f₂ (В, ΔL),

где Δ L=L-L₀ есть разность долгот точки и осевого меридиана.

Проекция Гаусса-Крюгера удобна в том плане, что единооб­разно осуществляется перевычисление координат во всех зонах. Прямоугольные координаты любой точки вычисляются по единому же алгоритму вне зависимости от зоны, т. к. прямоугольные коор­динаты зависят не от долготы точки, а от разности долгот Δ L. Орди­наты точек, расположенных восточнее осевого меридиана имеют знак «плюс», а западнее — знак «минус». Эти знаки совпадают со знаками разностей долгот Δ L. Наличие знаков у координат точек создает некоторое неудобство в пользовании. В связи с этим прак­тикуется к вычисленным в проекции Гаусса-Крюгера значениям ординат точек прибавлять 500 км и после этого впереди приписы­вать номер зоны. Например, Москва находится в шестиградусной зоне 7. Пусть точки А и В имеют соответственно ординаты у_А= +12 884,27 м и у_в = -206 368,69 м. Тогда их преобразованные орди­наты будут соответственно равны у_А= 7512 884,27 м и у_в= 7 293 631,31 м. Такое преобразование дает возможность получать однозначные положительные координаты X и У для точек на всей территории Российской Федерации.

Представленная система плоских прямоугольных координат является Единой Государственной системой координат Россий­ской Федерации.

Трехградусные зоны располагаются так, что все осевые и гра­ничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми мери­дианами трехградусных зон, т. е. долготы осевых меридианов трех­градусных зон кратны трем. Отсюда следует, что граничными ме­ридианами трехградусных зон будут являться меридианы, долгота которых кратна полутора градусам.

3.2 Разграфка и номенклатура листов карт и планов.

Топографические карты больших территорий для удобства пользования издают отдельными листами ограниченного формата, объединенными в общую многолистную карту единой системой разграфки. Для топографических карт принимают трапециевид­ную (градусную) систему разграфки. В ней рамками отдельных листов являются линии меридианов и параллелей.

В основу разграфки положено деление поверхности земного эллипсоида меридианами через 6° по долготе (начиная от Гринвич­ского меридиана) и через 4° по широте (начиная от экватора).

Каждая ячейка разграфки имеет свою номенклатуру, т. е, свое обозначение или свой неповторяющейся, индивидуальный иденти­фикатор. Такая ячейка (4° по широте и 6° по долготе) представляет собой лист Международной карты масштаба 1:1 000 000.

Листы карты масштаба 1:1 000 000, заключенные между смеж­ными параллелями, образуют пояса, которые обозначаются заглав­ными буквами латинского алфавита А, В,..., V, Z, начиная от эквато­ра. В северном полушарии имеется 22 полных пояса и один непол­ный. Листы масштаба карты 1:1000000, заключенные между смежными меридианами, составляют колонны, которые нумеруют в направлении с запада на восток арабскими цифрами 1, 2,..., 60, начиная от меридиана с долготой 180°, являющегося восточной вет­вью Гринвичского меридиана (рис. 10.3)

Номенклатура листа карты масштаба 1:1000 000 состоит из бук­вы, обозначающей соответствующий пояс, и числа — индекса ко­лонны (рис. 2). Например, N — 37 есть номенклатура листа карты масштаба 1:1000 000, на котором расположен г. Москва.

Определение номенклатуры листа карты масштаба 1:1000000, на котором лежит точка с заданными геодезическими координата­ми можно выполнить следующим образом:

Рис. 2. Номенклатура листов карт масштаба 1:1 000 000

1. Для получения номера пояса необходимо разделить значе- ние широты заданной точки, представленной в долях градуса, на четыре и округлить полученный результат в сторону большего це­лого числа Б_п. В соответствии с представленной ниже таблицей необходимо выбрать букву латинского алфавита, соответствую­щую полученному числу. Эта буква будет обозначать искомый

пояс.

Это пояс ограничивается с севера параллелью с широтой, рав­ной В°_с = 4^0,Б_П. С юга пояс ограничивает параллель с широтой В°_ю = 4 ° -(Б_п-1).

2. Определяется номер зоны, в которой располагается заданная точка. Для этого долгота заданной точки, переведенная в доли граду­сов, делится на четыре и полученный результат округляется в сторо­ну большего целого числа. Оно будет обозначать номер зоны Б_к. Для определения номенклатуры листа карты масштаба 1:1 000 000 необ­ходимо знать номер колонны, который отличается от номера зоны на 30 единиц. Эта колонна ограничивается с запада меридианом с долготой, равной L°₃ = 6° • (Б_к - 1), а с востока — с долготой L°_B = 6° • Б_к.

Тогда номенклатура искомого листа карты будет состоять из буквенного обозначения пояса и номера колонны.

При переходе к листам более крупных масштабов лист карты масштаба 1:1000 000 делят меридианами и параллелями на части так, чтобы листы карт различных масштабов были примерно оди­наковых размеров (рис. 3).

Рис. 3. Номенклатура листов карт масштаба 1:100 000

Так, разделив каждую сторону рамки карты масштаба 1:1000 000 на 12 частей, получают 144 листа карты масштаба 1:100 000, каждый из ко­торых имеет размеры: 30' по долготе и 20' по широте. Их последовательно нумеруют, обозначая цифрами 1,2,...,144. Таким образом, лист карты масштаба 1:100 000 с номером 25 имеет номенклатуру М —37 — 25.

Число листов топографических карт более крупного масштаба в листе топографической карты более мелкого масштаба, а также соответствующие размеры и номенклатура последнего листа то­пографической карты приведены в таблице 1

Таблица 1

При дальнейшем переходе к более крупным масштабам возвра­щаются к листам карты масштаба 1:100 000. Для получения номенк­латуры листа карты масштаба 1:5000 лист карты масштаба 1:100 000 делят на 256 частей (рис. 4), которые номеруют 1,2,.... 256.

 

Рис. 4. Номенклатура листов карты масштаба 1:5000

Лист карты масштаба 1:5000 имеет номенклатуру N— 37 — 25 — (240).

При переходе к масштабу 1:2000 лист карты масштаба 1:5000 делят на девять частей, обозначаемых первыми строчными буква* ми русского алфавита а, б, в, г, д, е, ж, з, и.

 

Рис. 5. Номенклатура листов карты масштаба 1:2000

Лист карты масштаба 1:2000 имеет номенклатуру N— 25-35- (240 - д).

При крупномасштабной съемке, охватывающей территорию менее 20 кв. км, как правило, применяют квадратную разграфку ли­ниями, параллельными координатным осям. Листы планов масшта­ба 1:5000 берут размером 40 х 40 см, что соответствует на местности 2x2 км. Для масштабов 1:2000, 1:1000, 1:500 определяют размер ра­мок 50 х 50 см.

Рамками листов планов масштаба 1:5000 являются четные ли­нии километровой сетки местной системы координат.