Повторить основные методы решения квадратных, рациональных и иррациональных уравнений.
Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения
Напомним, что уравнением называется равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.
Уравнение с одной переменной имеет вид:
,
где 
, 
– некоторые функции переменной 
.
Корнем (решением) уравнения с одной переменной называется число 
, при подстановке которого вместо в обе части уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение – значит найти все его кони или доказать, что корней нет.
Множество значений переменной , при которых определены функции и , называется областью определения уравнения или областью допустимых значений переменной (ОДЗ).
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.
Теоремы о равносильности уравнений:
1. 
.
2. 
для любого числа 
.
3. 
для любого числа 
.
4. 
, если 
имеет смысл в области определения уравнения.
5. 
, если определена
и не обращается в нуль в области определения уравнения.
6. 
.
7. 
.
Напомним, что уравнение вида 
, где 
и 
, называется линейным. Число корней уравнения зависит от значений и 
.
Линейное уравнение при 
имеет единственное решение 
;
при 
, 
– не имеет решений;
при , 
– принимает вид 
и имеет бесконечное множество решений.
Давайте решим следующее уравнение 
.
Решение.
А теперь давайте поговорим о квадратных уравнениях. Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:
,
где – переменная, , , 
, причём .
Число корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта, который вычисляется по формуле: 
.
Если 
, то уравнение имеет два различных действительных корня:
.
Если 
, то уравнение имеет два равных действительных корня:
.
Если 
, то уравнение не имеет корней.
Уравнение вида 
, где 
, называется приведённым квадратным уравнением.
Уравнения вида 
, 
, 
называются неполными квадратными уравнениями.
Неполные квадратные уравнения обычно решаются без применения общей формулы.
В уравнении (
, 
) левая часть раскладывается на множители:
, откуда 
, 
.
Уравнение (
) не имеет корней, если знаки и 
совпадают;
имеют два корня: 
, 
, если знаки и различны.
Уравнение имеет два равных корня: 
.
Важное значение при решении и исследовании квадратных уравнений имеет теорема Виета. Вспомним её.
Итак, теорема Виета (прямая):
если квадратное уравнение имеет корни,
то 
.
Для корней приведённого квадратного уравнения 
формулы Виета имеют следующий вид:
Теорема Виета (обратная):
если сумма каких-нибудь чисел 
и 
равна 
, а их произведение равно 
, то эти числа являются корнями квадратного уравнения .
Если дискриминант квадратного трёхчлена 
положителен, то трёхчлен можно представить в виде 
, где , – корни уравнения .
Если дискриминант квадратного трёхчлена э равен нулю, то трёхчлен можно представить в виде 
, где – корень уравнения .
Решим следующее уравнение 
.
Решение.
Перейдём к рациональным уравнениям. Напомним, что функция вида
,
где 
, 
, 
, 
, …, 
, 
– некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Целым рациональным уравнением называется уравнение вида 
, где 
– целая рациональная функция.
Дробно-рациональным уравнением называется уравнение вида 
, где и 
– многочлены.
При решении рациональных уравнений используются метод разложения на множители и метод замены.
Решим следующее уравнение 
.
Решение.
Также напомним, что иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
Основные методы решения иррациональных уравнений:
1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
2. Замена переменной.
3. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.
4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.
Решим следующее уравнение 
.
Решени е.
