Лекция 4. Решение простейших матричных уравнений
Определение
Квадратной матрице 
-го порядка ставиться в соответствие число 
, называемое определителем матрицы или детерминантом.
Определителем или детерминантом второго порядка соответствующей матрице
,
называется число 
:
.
Определителем или детерминантом третьего порядка, соответствующим матрице
,
называется число
- 
:
- .
Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-его порядка
Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали
Свойства определителей:
ü определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т. е. транспонировать); 
Известно, что определитель матрицы 
равен 3. Тогда определитель матрицы 
, которая равна 
, также равен 3.
ü при перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный;
ü общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя;
ü определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю;
ü если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю;
ü если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины;
Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не изменится
ü определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю;
ü треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали.
ü Определитель произведения матриц равен произведению определителей: 
Минором Мij элемента aij определителя D=| aij|, где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент:
, М12= 
.
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij определителя D=| aij| называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j:
.
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Если А - квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как слева, так и справа), дает единичную матрицу:
А-1∙А=А∙А-1=Е.
Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы.
При условии D = |A|≠ 0 обратная матрица находится по формуле
.
Схема нахождения обратной матрицы:
ü найти определитель матрицы А;
ü найти алгебраические дополнения всех элементов aij матрицы А и записать новую матрицу;
ü транспонировать полученную матрицу;
ü умножают полученную матрицу на 1/D.