ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Возрастание функции в точке. Теорема Ферма
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Говорят, что функция возрастает в точке , если существует некоторая окрестность точки 
, в которой функция возрастает, то есть
Аналогично определяется убывание функции в точке.
Теорема 1. Если функция 
имеет производную в точке и 
, то функция возрастает в точке .
Доказательство. 
.
Возьмём 
, тогда
. (1)
Неравенство (1) означает, что 
, если 
, и 
если 
, то есть функция возрастает в точке . Теорема доказана.
Очевидно, если 
то функция в точке убывает. Доказательство аналогично.
Замечание 1. Условие 
– достаточное, для возрастания (убывания) функции в точке . Но это условие не является необходимым. Например, функция 
возрастает в точке 
, но 
Определение. Функция достигает в точке локального максимума, если существует такая, что
. (2)
 |
Аналогично, если
, (3)
то в точке 
функция достигает локального минимума. Локальные максимум и минимум называются локальными экстремумами.
На рисунке 
– локальные минимумы, 
– локальный максимум.
Теорема 2 (Ферма). Если функция 
дифференцируема в точке и достигает в этой точке локального экстремума, то 
.
Доказательство. От противного. Если 
, то согласно теореме 1 функция в точке 
возастает, то есть не достигает локального экстремума. Если р 
, то убывает и также не достигает экстремума. Получили противоречие. Теорема доказана.
Геометрически теорема Ферма означает, что в точке (, f ()) график функции 
имеет горизонтальную касательную.
Теоремы о среднем
Теорема 1 (Ролль). Если функция непрерывна на отрезке 
, дифференцируема на интервале 
а на концах отрезка принимает равные значения 
, то существует, по крайней мере, одна точка 
, в которой 
Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно второй теореме Вейерштрасса (см. §10 гл. 4), она достигает на нём своего наименьшего 
и наибольшего 
значений.
Возможны два случая:
а) 
– const, следовательно, 
Теорема доказана.
б) 
. Так как 
, то, по крайней мере, одно из чисел 
или 
отлично от 
.
Допустим 
. Тогда 
, где 
. Это означает, что функция 
достигает в точке 
локального максимума. По теореме Ферма 
. Что и требовалось доказать.
Геометрически теорема Ролля означает, что между двумя точками, в которых значения функции равны, всегда найдётся точка, касательная в которой параллельна оси 
.
Следствие. Если функция непрерывна на , дифференцируема на 
, но 
, то 
. Доказательство от противного.
Теорема 2 (Коши). Если функции и 
непрерывны на , дифференцируемы на , причем 
, то существует точка такая, что
(1)
Доказательство. Составим вспомогательную функцию 
, где 
– некоторый коэффициент. Подберём его так, чтобы функция 
удовлетворяла условиям теоремы Ролля, то есть потребуем равенства на концах отрезка 
, так как все другие требования теоремы Ролля выполняются).
. (2)
согласно следствию теоремы Ролля).
Итак, если коэффициент определяется формулой (2), то функция 
удовлетворяет теореме Ролля, то есть
Или
.
Теорема доказана.
Теорема 3 (Лагранж). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что
. (3)
Доказательство. Положив в теореме Коши 
, получим
или 
Теорема доказана.
Из рис. видно, что 
где 
– угол наклона секущей 
, а из (3) видно, что 
, то есть теорема Лагранжа утверждает, что между точками 
и 
кривой существует точка 
такая, что касательная в этой точке параллельна секущей.
Замечание. Пусть 
удовлетворяет теореме Лагранжа и пусть 
Тогда согласно (3)
или 
. (
)
Или 
где 
Равенства (
) и (3) называют формулой конечных приращений. Формула () – это точное равенство для любых конечных 
(в отличие от приближённого 
).
Во всех трёх теоремах речь идёт о существовании некоторой средней точки 
, поэтому эти теоремы и называют теоремами о среднем.
Некоторые следствия из теоремы Лагранжа. Теорема Дарбу
Теорема 1. Пусть функция 
дифференцируема на интервале 
. Тогда:
а) если 
, то функция монотонно убывает;
б) если 
, то 
;
в) если 
то функция монотонно возрастает.
Доказательство. Пусть 
, 
– произвольные точки. Тогда на отрезке 
функция удовлетворяет теореме Лагранжа.
. (*)
Если 
то 
и из (*) следует 
, то есть функция убывает монотонно на 
. Утверждение а) теоремы 1 доказано.
Утверждения б) и в) доказываются аналогично.
Теорема 2 (Дарбу). Пусть функция дифференцируемая на и пусть 
. Тогда найдётся точка такая, что 
, то есть функция 
подобно непрерывной функции принимает все свои промежуточные значения между 
и 
.
Доказательство. Пусть 
(если 
– доказательство аналогично). Положим 
и введём две функции
и 
, если 
. (1)
и 
, если 
. (2)
Тогда
(3)
(см. рис.). Рассмотрим сложную функцию
. (4)
Очевидно, 
непрерывна на как суперпозиция, разность и отношение непрерывных функций. Найдём предел
.
(Производная 
существует по условию теоремы).
Аналогично найдём
Доопределим функцию , положив
и 
Тогда функция будет непрерывной на отрезке 
и по теореме Коши (см. §11) принимает все свои промежуточные значения, то есть если
,
или ,
то найдётся точка 
такая, что
. (5)
Зафиксируем 
и из (4) найдём:
(6)
Но на отрезке 
функция удовлетворяет теореме Лагранжа (см. теорему 3 §2)
Сравнивая (6) и(7), получим
Что и требовалось доказать.
Следствие. Если функция дифференцируема на отрезке 
, то её производная 
не имеет точек разрыва первого рода.
Доказательство. От противного. Пусть существует функция 
дифференцируемая на , а её производная строго возрастает на и имеет в точке 
разрыв первого рода (см. рис.). Пусть
и пусть
. (8)
Согласно теореме 2 производная 
примет значение 
, причём 
, так как строго возрастает. В силу строгой монотонности
Получили противоречие (см. (8)). Это противоречие и доказывает следствие.