Пределы последовательностей и функций
Контрольная работа по высшей математике
Пределы последовательностей и функций
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера:
.
В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер
, зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.
при
.
Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность
сходящуюся к точке
:
. Значения функции в выбранных точках образуют последовательность
, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
Число А называется пределом функции в точке
, если для любой сходящейся к
последовательности значений аргумента, отличных от
, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.
.
Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности
будет меньше e, когда абсолютная величина разности
будет меньше
, но больше нуля
, если
при
.
Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке ».
Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при
, если для любого числа
существует такое число d, что при всех
справедливо неравенство
:
.
Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель
, который при
не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Производная и дифференциал
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
.
Производной функции в точке
называется предел отношения
, когда
(если этот предел существует). Производная функции
в точке
обозначается
.
Например, выражение следует понимать как производную функции
в точке
.
Определение производной можно записать в виде формулы
. (4.1)
Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке
. Если предел (4.1) равен
, то говорят, что функция
имеет в точке
бесконечную производную.
В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что
– это тангенс угла наклона касательной к графику
в точке
.
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.
Если функции дифференцируемы в точке
, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке
, и справедливы следующие формулы
.
Если функция имеет обратную функцию
и в точке
производная
, то обратная функция
дифференцируема в точке
и
или
.
Если функция дифференцируема в точке
и
, то сложная функция
также дифференцируема в
и верна следующая формула
или
.
Пример.
Найти производную функции
Решение:
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)
Функция , определенная во всех точках промежутка
, называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,
если то при
– возрастающая,
– убывающая.
Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего
. Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).
Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции
, а значение
называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки
такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке
, т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум)
(рис. 1).
у max у
min
f(х0) f(х0)
О х0–d х0 х0+d х О х0–d х0 х0+d х
точка максимума | точка минимума |
Рис. 1
Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.
Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.
Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.
2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения и
.