По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х 0, у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0, у 0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:
(1)
Условие непрерывности f в точке (х 0, у 0) можно записать в эквивалентной форме:
(1')
т.е. функция f непрерывна в точке (х 0, у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δ х, у 0 + Δ у) от переменных Δ х, Δ у при Δ х = Δ у = 0.
Можно ввести приращение Δ и функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δ х, Δ у аргументов
Δ и = f (х + Δ х, у + Δ у) – f (x, y)
и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если
(1'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0, у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0, у 0) ≠ 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что
| f (x, y) – f (х 0, у 0) | = | с – с | = 0 0.
Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:
| f (х + Δ х, у + Δ у) – f (x, y) | = | f (х + Δ х) – х | = | Δ х | ≤ 
0.
Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) 
R 2.
Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x, y), очевидно, непрерывная всюду на R 2, за исключением точек (x, y), где Q (x, y) = 0.
Функция
Р (x, y) = х 3 – у 2 + х 2 у – 4
может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция
Р (x, y) = х 4 – 2 х 2 у 2 + у 4
есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x 0, y 0, z 0 ) пространства R 3 (точек (x, y, z)), а функции
x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)
непрерывны в точке (u 0, v 0 ) пространства R 2 (точек (u, v)). Пусть, кроме того,
x 0 = φ (u 0, v 0 ), y 0= ψ (u 0, v 0 ), z 0= χ (u 0, v 0 ).
Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по
(u, v)) в точке (u 0, v 0 ).
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х 0, у 0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х 0, у 0) в некоторой окрестности точки (х 0, у 0).
По определению функция f (x) = f (x 1,..., хп) непрерывна в точке х 0 = (х 01,..., х 0 п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0, и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:
(2)
Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:
(2')
т.е. функция f (x) непрерывна в точке х 0, если непрерывна функция f (х 0 + h) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение f в точке х 0, соответствующее приращению h = (h 1,..., hп),
Δ h f (х 0 ) = f (х 0 + h) – f (х 0 )
и на его языке определить непрерывность f в х 0: функция f непрерывна в х 0, если
(2'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 ) ≠ 0.
Замечание. Приращение Δ h f (х 0 ) называют также полным приращением функции f в точке х 0.
В пространстве Rn точек х = (x 1,..., хп) зададим множество точек G.
По определению х 0 = (х 01,..., х 0 п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.
Множество G 
Rn называется открытым, если все его точки внутренние.
Говорят, что функции
х 1 = φ1 (t),..., хп = φ п (t) (a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [ a, b ], определяют непрерывную кривую в Rn, соединяющую точки х 1 = (х 11,..., х 1 п) и х 2 = (х 21,..., х 2 п), где х 11 = φ1 (а),..., х 1 п = φ п (а), х 21 = φ1 (b),..., х 2 п = φ п (b). Букву t называют параметром кривой.
Множество G называется связным, если любые его две точки х 1, х 2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.
Связное открытое множество называется областью.
Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на Rn (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству
f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.
В самом деле, функция F(x) = f(x) – с непрерывна на Rn, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х 0 
G, тогда существует шар
| х – х 0 | < δ,
на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х 0 
G – внутренняя для G.
Случай с f (x) < с доказывается аналогично.
Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М 0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
а) функция f (М) определена в точке М 0 и вблизи этой точки;
б) существует предел 
;
в) 
Если в точке М 0 нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln (x 2 + y 2 ).
Решение. Функция z = ln (x 2 + y 2 ) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.
Пример 2. Найти точки разрыва функции: 
Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x 2 + y 2 – z 2 = 0. Следовательно, поверхность конуса
x 2 + y 2 = z 2 является поверхностью разрыва.
Заключение
Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.
В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).
Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.
Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.
Список использованной литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.
3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.
4. https://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html
5. https://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm