Предел функции нескольких переменных

Кафедра: Высшая математика

Реферат

По дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.

Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают

z = f (x, y).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.

Так, для функции z = x ² + 3 xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x, y, z, если дано правило, как по данной тройке значений x, y и z вычислить соответствующее значение u:

u = F (x, y, z).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u, соответствующего данным значениям x, y и z.

Так, для функции u = xy + 2 xz – 3 yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x, y, z, …,t) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u, то и u называется функцией от п переменных x, y, z, …,t, определенной на множестве Е, и обозначается

u = f (x, y, z, …,t).

Переменные x, y, z, …,t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀, …,t ₀) и обозначается f (М ₀) = f (x ₀, y ₀, z ₀, …,t ₀).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x, y) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х, у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x, y, z) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x, y, z, …,t) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х ₀, у ₀), равный числу А, обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x, y) → А при (x, y) → (х ₀, у ₀)), если она определена в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х ₀, у ₀) последовательность точек (x_k, y_k).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х ₀, у ₀) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x, y) – A | < ε (3)

для всех (x, y), удовлетворяющих неравенствам

0 < < δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х ₀, у ₀) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х ₀, у ₀), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y) окрестности точки (х ₀, у ₀) можно записать в виде х = х ₀ + Δ х, у = у ₀ + Δ у, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х ₀, у ₀), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω _х, ω _у) – произвольный вектор длины единица (|ω|² = ω _х ² + ω _у ² = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х ₀ + t ω _х, y ₀ + t ω _у) (0 < t)

образуют луч, выходящий из (х ₀, у ₀) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х ₀ + t ω _х, y ₀ + t ω _у) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t, где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t)

f (х ₀ + t ω _х, y ₀ + t ω _у),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х ₀, у ₀) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y) за исключением точки х ₀ = 0, у ₀ = 0. Имеем (учесть, что и ):

Отсюда

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y) | < ε, если < δ).

Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kx равенство

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx, х > 0, имеет вид

Пример 2. Рассмотрим в R ₂ функцию

(х ⁴ + у ² ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х ²

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀), за исключением, быть может, самой точки (х ₀, у ₀) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

| f (x, y) | > N,

коль скоро 0 < < δ.

Можно также говорить о пределе f, когда х, у → ∞:

(5)

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых | x | > N, | y | > N, функция f определена и имеет место неравенство

| f (x, y) – А | < ε.

Справедливы равенства

(6)

(7)

(8)

где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.

Докажем для примера (7).

Пусть (x_k, y_k) → (х ₀, у ₀) ((x_k, y_k) ≠ (х ₀, у ₀)); тогда

(9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x_k, y_k) стремится к (х ₀, у ₀) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y) ∙φ (x, y) в точке (х ₀, у ₀).

Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х ₀, у ₀), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам

0 < < δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

(12)

Поэтому для таких (x, y)

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует откуда при A > 0 и при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f(x) = f (x ₁, …, x_n) = A имеет предел в точке

x ⁰ = , равный числу А, обозначаемый так:

(пишут еще f(x) → A (x → x ⁰)), если она определена на некоторой окрестности точки x ⁰, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x ⁰ последовательность точек х^k из указанной окрестности (k = 1, 2,...), отличных от x ⁰.

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x ⁰ предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки x ⁰, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

(13)

для всех х, удовлетворяющих неравенствам

0 < | x – x ⁰| < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x ⁰ ) точки x ⁰ такая, что для всех х U(x ⁰ ), х ≠ x ⁰, выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x ⁰, то А есть предел функции f(x ⁰+ h) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x ⁰, кроме, быть может, точки x ⁰; пусть ω = (ω₁,..., ω _п) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x ⁰ + t ω (0 < t) образуют выходящий из x ⁰ луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

(0 < t < δ_ω)

от скалярной переменной t, где δ_ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t)

если он существует, естественно называть пределом f в точке x ⁰ по направлению вектора ω.

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x ⁰, за исключением, быть может, x ⁰, и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что | f(x) | > N, коль скоро 0 < | x – x ⁰| < δ.

Можно говорить о пределе f, когда х → ∞:

(14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых | x | > N, функция f определена и имеет место неравенство .

Итак, предел функции f(x) = f(x ₁,..., х_п) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(M) при М → М ₀, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М ₀ и удовлетворяющих условию | ММ ₀ | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε.