Лекция 5.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Ферма. Пусть функция 
определена на интервале 
и в некоторой точке 
этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке 
существует конечная производная, то она равна нулю.
Теорема Ролля. Пусть на 
определена функция 
, причем:
| 1) непрерывна на ,
|
| 2) дифференцируема на ,
|
3)  .
|
Тогда существует точка 
такая что 
, и 
.
Теорема Лагранжа. Пусть на определена функция , причем:
| 1) непрерывна на ,
|
| 2) дифференцируема на .
|
Тогда существует точка такая что , и 
.
Формула Лагранжа. Равенство
называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
Теорема Коши. Пусть:
1) ,  непрерывна на ,
|
| 2) , дифференцируема на ,
|
3)  на .
|
Тогда существует точка такая, что и справедлива формула:
.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Определение. Будем говорить, что отношение двух функций 
при 
есть неопределенность вида 
, если 
. Раскрыть эту неопределенность – означает вычислить предел 
, если он существует, или установить, что он не существует.
Теорема Лопиталя. Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки 
, за исключением, быть может, самой точки 
. Пусть также и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения 
, то существует и предел , причем справедливо соотношение
Rem.1. Теорема остается справедливой в случае когда 
и 
.
Rem.2. Если производные 
и 
также удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то теорему можно применять повторно: 
Rem.3. Теорема остается верной и в случае, когда 
.
Определение. Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида 
, если
или 
.
Для раскрытия этой неопределенности справедливо утверждение, аналогичное теореме Лопиталя, а именно: если в формулировке теоремы изменить условие на 
, то теорема останется справедливой.
Неопределенности вида 
и 
можно свести к неопределенности или к .
Формула Тейлора.
Теорема Тейлора. Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка 
. Пусть 
любое значение аргумента из указанной окрестности. Тогда между точками 
и 
найдется точка 
такая, что справедлива формула Тейлора:
Формула Лагранжа.
.
Формула Маклорена. Формулу Тейлора при 
называют формулой Маклорена:
.
Остаточный член имеет вид
1. в форме Лагранжа: 
;
2. в форме Пеано: 
.
Геометрическое исследование поведения функции.
· Признак монотонности функции.
Если функция дифференцируема на интервале и 
, то функция не убывает на .
Если функция дифференцируема на интервале и 
, то функция не возрастает на .
Если функция дифференцируема на интервале и 
, то функция возрастает на .
Если функция дифференцируема на интервале и 
, то функция убывает на .
· Отыскание точек локального экстремума.
Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума функции если для всех 
из некоторой 
окрестности точки выполняется неравенство 
при 
.
Определение. Точка называется точкой строгого локального минимума функции если для всех из некоторой 
окрестности точки выполняется неравенство 
при 
.
Необходимое условие локального экстремума. Если функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то 
.
Геометрический смысл. Если точки 
- точки локального экстремума и в этих точках существуют касательные к графику функции, то эти касательные параллельны оси 
.
Точку , для которой выполнено соотношение , называют точкой возможного экстремума.
Достаточное условие локального экстремума. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в проколотой окрестности точки . Тогда:
o если для всех из левой окрестности точки , а для всех из правой окрестности , то в точке функция имеет локальный максимум;
o если для всех 
из левой окрестности точки , а для всех из правой окрестности , то в точке 
функция имеет локальный минимум;
o если же в окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.
· Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
Определение. График функции имеет на выпуклость направленную вниз, если он расположен не ниже любой касательной к графику функции на .
Определение. График функции имеет на выпуклость направленную вверх, если он расположен не выше любой касательной к графику функции на .
Достаточное условие выпуклости. Пустьфункция имеет на интервале конечную 
. Тогда:
o если 
во всех точках , то график функции на имеет выпуклость, направленную вниз;
o если 
во всех точках , то график функции на имеет выпуклость, направленную вверх.
Определение. Точка 
называется точкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.
Необходимое условие точки перегиба. Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную, тогда 
.
Определени е. Точка 
графика функции , для которой 
называется критической.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция непрерывна, имеет конечную в некоторой проколотой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке .
· Асимптоты графика функции. Прямая линия называется асимптотой для кривой 
, если расстояние 
от точки 
, лежащей на кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки 
от начала координат в бесконечность.
Определение. Прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов 
или 
равен 
или 
.
Определение. Прямая 
называется горизонтальной асимптотой графика функции , при если хотя бы один из пределов 
или 
равен 
.
Определение. Прямая 
называется наклонной асимптотой графика функции , при если существуют числа 
и 
такие, что 
, 
.
· Схема исследования графика функции.
1. Определить область существования функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Найти асимптоты.
4. Найти точки возможного экстремума.
5. Найти критические точки.
6. Провести исследование знака первой и второй производных. Определить участки возрастания, убывания и направления выпуклости, найти точки экстремумов и точки перегиба.
7. Построить график.
· Касательная к графику функции 
в точке
.
· Нормаль к графику функции 
в точке
.