Численное дифференцирование исходных и сглаженных данных с помощью второй формулы гаусса и формулы Бесселя

Формула Бесселя имеет вид:

Формула Гаусса имеет вид:

Выполним преобразование формулы с учетом, что

Тогда формулы Бесселя и Гаусса примут вид для исходных данных:

Таблица 2 - Первая и вторая производные по методу Бесселя и Гаусса

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 9 - Сравнение результатов первой производной по формуле Бесселя и Гаусса

Сравним результаты полученные методами Гаусса и Бесселя.

Рисунок 10 - Сравнение результатов второй производной по формуле Бесселя и Гаусса

Полученные результаты имеют достаточно большой разбеги и сильно разнятся по значению, что свидетельствует о плохой обусловленности задачи.

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым изменениям погрешностей исходных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям исходных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны существенные изменения решения. Мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на второй формуле Гаусса:

линейный сглаживание гаусс бессель

Так как 6000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим коэффициенты обусловленности, основанные на формуле Бесселя:

Так как 10000 намного больше единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных соответствуют существенные изменения в решении.

Вычислим оптимальное значение шага дифференцирования.

Оценка максимальной погрешности интерполяции исходной функции на всем отрезке дифференцирования [a, b] для четырёх узлов интерполяции (n=3) удовлетворяет условию:

, где

Полная погрешность представляет собой сумму вычислительной погрешности и погрешности интерполяции на интервале дифференцирования и не превосходит величины:

Минимизация по h функции ε1(h) приводит к следующей формуле для вычисления оптимального значения шага дифференцирования:

Из полученных значений можно сделать вывод, что оптимальное значения шага дифференцирования намного превышает значение шага в нашей функции. Следовательно, чтобы задача стала хорошо обусловленной, следует взять шаг h=0.275.

ВЫВОД

В ходе данной лабораторной работы были проведены процедуры сглаживания - линейного по трем и пяти точкам и нелинейного по семи точкам, а также сглаживание с использованием функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH. Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что сглаживание по трем и пяти точкам, а также функция SUPSMOOTH дают самые гладкие графики, в то время как нелинейное сглаживание по семи точкам, и функция MEDSMOOTH дают более приближенные к оригинальным значения.

В результате выполнения численного дифференцирования для данных, с использованием формул численного дифференцирования, основанных на второй формуле Гаусса и на формуле Бесселя. Были вычислены коэффициенты обусловленности (6000 для формулы Гаусса и 10000 для формулы Бесселя), сравнив полученные значения, был сделан вывод о том, что задача плохо обусловлена для обоих методов численного дифференцирования.

Также было определено оптимальное значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения точности решения: . Сравнив полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента (h=0.005) в табличном представлении функции, был сделан вывод, что при проведении последующих измерений значений функции следует увеличить шаг для лучшей обусловленности задачи.