Тема: Показательная функция, ее свойства и график

Тема: Показательная функция, ее свойства и график

1. Теоретический материал к новой теме:

· Функцию вида y = a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

· Область определения показательной функции: D (y)= R – множество всех действительных чисел.

· Область значений показательной функции: E (y)= R₊ - множество всех положительных чисел.

· Показательная функция y =a^x возрастает при a>1.

· Показательная функция y =a^x убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

· а⁰=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

· а¹=а Любое число в первой степени равно самому себе.

· a^x∙ a^y= a^x+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

· a^x:a ^y=a^{x- y} При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

· (a^x)^y=a ^xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

· (a ∙b)^x= a^x∙b^y При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

· (a/b)^x=a^x/b^y При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

· а^-х=1/a^x

· (a/b)^-x=(b/a)^x.

Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула:

N= N₀·a^kt, N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т. п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P₀·a^-kh, P– давление на высоте h, P₀– давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D₀·a^kt, D– изменение количества древесины во времени, D₀ – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой:

T=T₀+(100– T₀)e^-kt.

5) Закон поглощения света средой: I=I₀·e^-ks, s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

Решение примеров

1) Построить график функции y=2^x.

Найдем значения функции

При х=0, х=±1, х=±2, х=±3

x =0, y =2⁰=1; Точка А.

x =1, y =2¹=2; Точка В.

x =2, y =2²=4; Точка С.

x =3, y =2³=8; Точка D.

x =-1, y =2^-1=¹/₂=0,5; Точка K.

x =-2, y =2^-2=¹/₄=0,25; Точка M.

x =-3, y =2^-3=¹/₈=0,125; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2^x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(¹/₂)^x.

Найдем значения функции при х=0, х =±1, х =±2

x=0, y=(½)⁰=1; Точка A.

x=1, y=(½)¹=½=0,5; Точка B.

x=2, y=(½)²=¼=0,25; Точка C.

x=3, y=(½)³=1/8=0,125; Точка D.

x=-1, y=(½)^-1=2¹=2; Точка K.

x=-2, y=(½)^-2=2²=4; Точка M.

x=-3, y=(½)^-3=2³=8; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(¹/₂)^xубывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0<(¹/₂)<1.

3) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=2^x, y=3^x, y=5^x, y=10^x. Сделать выводы.

График функции у=2^х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R₊).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у =а^х, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(¹/₂)^x, y=(¹/₃)^x, y=(¹/₅)^x, y=(¹/₁₀)^x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(¹/₂)^x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х =±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R₊.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=а^х, тем ближе расположена кривая к оси О у.

Все эти функции являются убывающими, так как

большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

5. Решить графически уравнения: