Теоретический задел к лабораторной работе №1
Статистические методы контроля.
Основные понятия математической статистики
Испытание — понятие теории вероятностей, может иметь один (и только один) из п исходов. Каждый исход испытания рассматривается как случайное событие, имеющее определенную вероятность. Например, испытанием будет контроль годности изделий проходными и непроходными калибрами, определение величины размера изделия, обработанного на станке. Явления, получающиеся в результате испытания, называются событиями (например, появление бракованного изделия при контроле калибрами, получение определенного размера изделия при его измерении). В теории вероятностей обычно рассматриваются массовые испытания, т. е. испытания, происходящие при неизменных основных условиях неоднократно.
События можно подразделить следующим образом.
1. Событие называют достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет (например, появление бракованного экземпляра в партии забракованных изделий будет достоверным событием).
2. Событие называют невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может (например, появление годного экземпляра в партии негодных изделий будет невозможным событием).
3. Событие называют случайным (или возможным), если в результате данного испытания оно может произойти, но может и не произойти (например, появление бракованного экземпляра в партии изготовленных изделий при неустановившемся или неизученном технологическом процессе является случайным (или возможным) событием).
4. Два события называют несовместными, если при испытании появление одного из них исключает возможность появления другого (например, проходимость проходной и непроходной сторон калибра при контроле годной детали есть события несовместные).
5. Два события называют совместными, если при испытании появление одного из них не исключает возможность появления другого (например, проходимость проходной и непроходной сторон калибра при контроле бракованной детали есть события совместные).
6. События называют единственно возможными, когда при испытании произойдет хотя бы одно из этих событий (например, при контроле изделий калибрами единственно возможным событием будет появление или непоявление бракованного изделия; для годных изделий единственно возможными событиями являются
проходимость через проходной калибр и непроходимость через непроходной калибр).
7. Если при испытании могут появиться несколько возможных событий, и при этом нет основания предполагать, что появление одних возможнее других, то такие события называют равновозможными. Например, партия изделий содержит 10 пронумерованных бракованных изделий. При выборке из всей партии продукции 10 бракованных изделий нет основания предполагать, что появление того или другого номера бракованного изделия возможнее другого. Появление бракованного изделия с тем или другим номером в данном случае — событие равновозможное.
Вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих наступлению данного события, ко всему числу несовместных, единственно возможных и равновозможных событий:
где Р(А) — вероятность события А; т — число случаев, благоприятствующих наступлению события; N — число несовместных, единственно возможных и равновозможных событий.
Например, пусть задан допуск на диаметр (-0,1; +0,1). Изделия, выходящие за верхнюю и нижнюю границы допуска, считаются бракованными, а лежащие внутри поля допуска — годными. Положим, что партия, состоящая из N = 1000 изделий содержит т1 = 15 изделий, выходящих за верхнюю границу допуска, и т2 = - 18 изделий, выходящих за нижнюю границу допуска. В этом случае вероятность появления в партии бракованного изделия при испытании будет равна:
Если т = N, то
— событие А достоверно.
Если т = 0, то Р(А) = 0 — событие невозможно.
Случайной величиной называют величину, которая в результате опыта может принимать различные значения. Например, извлечение из партии бракованного изделия есть случайная величина, которая может принимать положительное значение («+») при появлении бракованного изделия и отрицательное значение («-») — при его отсутствии. Величина размера обработанного на станке годного изделия есть также случайная величина, которая может принимать любое значение в пределах заданного поля допуска. Случайные величины обычно обозначают прописными буквами, например X. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают строчными буквами x1, х2, …, xn. При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величины x1, х2, …, xn может встретиться т1, т2,..., тп раз. Эти числа называют частотами.
Если всего было проведено N испытаний, т.е. , то отношение
называют частостью, или относительной частотой.
Совокупность, содержащая все исследуемые изделия, называется генеральной совокупностью. Выбранные из генеральной совокупности N изделий образуют выборку объема N.
Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать лишь определенные значения, например 0,1; 0,2; 0,3 и т.д.
Непрерывными случайными величинами называют такие, которые в некотором интервале могут принимать любые значения.
Число бракованных изделий в различных выборках из генеральной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер этих изделий — непрерывная случайная величина.
Дискретная случайная величина задана, если имеется вероятность каждого ее значения (табл. 1).
Таблица 1
Таблица вероятности значения дискретной случайной величины
x | x1 | x2 | x3 | … | x5 |
P(X = xi) | P(x1) | P(x2) | P(x3) | … | P(xn) |
Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы и задать вероятности появления этих интервалов.
Определим понятия плотности и интегральной функции распределения случайных величин.
Если X — случайная величина, а х — некоторое ее значение, то вероятность того, что X < х равна
F(x) = P(X < x),
где F(х) — некоторая функция, называемая интегральной функцией распределения (рис. 1).
На рис. 1 F (х) — ордината кривой в некоторой точке х при любом x0 ≤ F(x) ≤ 1.
Рис. 1. Интегральная функция распределения
F(x) – ордината кривой; x – некоторое значение случайной величины; ∆x – приращение x
Плотность вероятности φ(x) есть предел отношения вероятности того, что случайная величина X примет значение, лежащее между х и х + ∆х, к величине интервала ∆х при ∆х > 0, т. е.
Функцию φ(x) называют также дифференциальным законом распределения.
Функции ∆х и F(х) связаны соотношением:
Будем считать, что случайная величина задана теоретическим законом, если заданы ее интегральный закон или ее плотность вероятности.
Случайная величина задана эмпирическим законом распределения, если для каждого значения случайной величины известна частота встречаемости или частость, полученная из N опытов (табл. 2).
Таблица 2
Частоты встречаемости и частость из N опытов
Значение случайной величины | Частота встречаемости | Частость |
x1 | m1 | ![]() |
x2 | m2 | ![]() |
x3 | m3 | ![]() |
… | … | … |
xn | mn | ![]() |
В пределе частости стремятся к вероятностям соответствующих значений случайной величины. Всякое теоретическое распределение характеризуется величиной своих основных параметров: математическим ожиданием МХ (т.е. центром группирования) и дисперсией DX (величиной рассеяния). Для дискретной случайной величины (см. табл. 1)
Рис. 2. Плотность вероятности φ(х) непрерывной случайной величины: МХ – математическое ожидание; а и b - наименьшее и наибольшее значения случайной величины xi; ∆xi – приращение xi
Для непрерывной случайной величины, заданной своей плотностью вероятности φ(х) (рис. 2), математическое ожидание и дисперсию можно определить как:
Последние две формулы применяются для тех случаев, когда случайная величина принимает значения от а до b; формулы (1.8), (1.9) — когда х изменяется от .
Величина называется средним квадратическим отклонением.
Эмпирическое распределение характеризуется средним значением , равным:
Среднее значение характеризует центр группирования значений случайной величины. При достаточно большом N (N выборочное значение
стремится к величине математическому ожиданию, т.е.
= МX.
Величина рассеяния выборочных значений вокруг их среднего значения характеризуется эмпирической дисперсией
Для N > 25 используют формулу
где .
При N
.
Величина = DX называется эмпирическим квадратическим отклонением.
Кроме среднего значения и дисперсии кривые распределения характеризуются также асимметрией А и экцессом Е:
Если А = 0, то кривая симметрична.
Если А > 0, кривая имеет положительную асимметрию.
Если А < 0, кривая имеет отрицательную асимметрию (рис. 3).
Рис. 3.
Рис.4
Эксцесс характеризует крутизну кривой. В качестве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения, имеющая плотность вероятности:
где а = МХ – математическое ожидание; σ2 – дисперсия.
Если Е > 0, то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения.
Если Е < 0, то говорят, что имеется отрицательный эксцесс, т.е. вершина кривой находится ниже кривой нормального распределения.
Во многих технических приложениях функции распределения характеризуются коэффициентом относительного рассеяния К, коэффициентом относительной асимметрии а и величиной практически предельного поля рассеяния.
Положим, что погрешности отклонений размеров изделий от их номинального значения заданы функцией плотности φ(x) и величинами параметров МХ, ∆ (рис. 5).
Положим, что погрешности отклонений размеров изделий от их номинального значения заданы функцией плотности φ(x) и величинами параметров МХ, ∆ (рис. 5). Примем номинальное их значение за начало координат.
Рис. 5. Определение коэффициента относительной асимметрии αδ:
φ(x)- плотность вероятности; МХ – математическое ожидание; t1 и t2 – наименьшее и наибольшее значение случайной величины x; δ – половина поля допуска; ∆ - координата середины поля допуска
Практически предельным полем рассеивания называется расстояние между такими двумя значениями t1 и t2 случайной величины, при которых площадь, ограниченная кривой, осью абсцисс и отрезком [ t1, t2 ], равна 1 - 2β, где 2β — вероятность риска (брака). Обычно принимают 2β = 0,0027. По определению можно написать
На практике обычно t1 и t2 выбирают так, чтобы
Определенное таким образом практически предельное поле рассеяния принимают за поле допуска, т.е. 2δt = t1 - t2 половина поля допуска:
– половина поля допуска;
- координата середины поля допуска;
- коэффициент относительной асимметрии;
— коэффициент относительного рассеяния, где
.
Индекс «т» при ∆, δ, α, К указывает на теоретическое значение этих коэффициентов. Эти же коэффициенты, определяемые для эмпирических распределений, будут иметь индекс «э» и обозначаться ∆э, δэ, αэ, Кэ.
В тех случаях, когда целью эксперимента является лишь определение или уточнение значений коэффициентов α и К относительно заданного конструктором поля допуска, не подлежащего пересмотру, коэффициенты αэ и Кэ определяются по формулам:
;
.
При этом может оказаться, что заданное конструктором поле допуска не соответствует практически предельному полю рассеяния, т.е. вероятность риска (брака) не равна 2β = 0,0027.
Практически предельное поле рассеяния оказывается не равным полю допуска также в тех случаях, когда за величину поля допуска принимается вся зона рассеяния R (величина размаха), равная разности между максимальным и минимальным значениями случайной величины в выборке, т. е. R = xмах - xmin.