Функции, возвращающие значения логического типа

Работа с матрицами и массивами

Линейная алгебра

Рассмотрим подробнее арифметические операции над векторами (одномерными массивами) и матрицами (двумерными массивами). Набор арифметических операций в MATLAB состоит из стандартных операций сложения-вычитания, умножения-деления, операции возведения в степень и до­полнен специальными матричными операциями. Матричные операции сложения и вычитания действуют поэлементно, а остальные операции - нет, они являются матричными операциями. Если операция применяется к матри­цам, размеры которых не согласованы, то будет выведено сообщение об ошибке. При умножении (сло­жении, вычитании, делении) матрицы на число соответствующая операция всегда производится поэлементно.

Например,

A=[0 1; 2 3], B=ones(size(A))

Результатом матричного умножения A*B будет

ans =

1 1

5 5

Теперь применим поэлементную операцию: A.*B:

ans =

0 1

2 3

Добавление матрицы к ее транспонированной дает симметричную матрицу.

A = magic(4);

А + А'

ans =

32 7 12 17

7 22 17 22

12 17 12 27

17 22 27 2

Умножение матрицы на ее транспонированную также дает симметричную матрицу.

А'*А

ans =

378 206 212 360

206 370 368 212

212 368 370 206

360 212 206 378

Определитель этой частной матрицы оказывается равным нулю, означая, что эта матрица является сингулярной.

d = det(A)

d =

Приведенная к строкам ступенчатая форма матрицы А выглядит следующим образом:

R = rref(A)

R =

1 0 0 1

0 1 0 3

0 0 1 -3

0 0 0 0

Поскольку заданная матрица является сингулярной, то она не имеет обратной. Если всё-таки попытаться ее определить

X = inv(A)

то будет получено предупреждение

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 4.625398e-018.

Ошибка округления препятствует алгоритму обращения матрицы при определе­нии точной сингулярности. Но значение rcond, которое устанавливает условие оценки для обратной матрицы, имеет порядок eps, относительной точности чис­ла с плавающей точкой, поэтому вычисление обратной матрицы не очень жела­тельно.

Интересно найти собственные значения магического квадрата

e = eig(A)

е =

34.0000

8.9443

-8.9443

-0.0000

Одно из собственных значений равно нулю, что является следствием сингуляр­ности. Самое большое собственное значение равно 34, магической сумме. Это происходит потому, что вектор, состоящий из всех единиц, является собствен­ным вектором:

v=ones(4,1);

A*v

ans =

Когда магический квадрат нормируется на его магическую сумму

P = A/34,

результат будет бистохастической матрицей, у которой суммы в строках и столбцах все равны единицам.

P =

0.4706 0.0588 0.0882 0.3824

0.1471 0.3235 0.2941 0.2353

0.2647 0.2059 0.1765 0.3529

0.1176 0.4118 0.4412 0.0294

Такие матрицы представляют собой вероятность перехода в Марковском про­цессе. Повторные возведения матрицы в степень являются повторными шагами в этом процессе. Для нашего примера, пятая степень

P^5

равна

ans =

0.2511 0.2491 0.2492 0.2506

0.2495 0.2504 0.2502 0.2499

0.2501 0.2498 0.2496 0.2505

0.2494 0.2508 0.2509 0.2489

Из этого видно, что если k стремятся к бесконечности, тогда все элементы в матрице P^k стремятся к 1/4.

В заключение, рассмотрим коэффициенты характеристического полинома

Poly (А)

ans =

1.0e+003 *

0.0010 -0.0340 -0.0800 2.7200 0.0000

Из чего следует, что характеристический полином

det(A-λI)

равен

λ⁴ - 34λ³ - 80λ² + 2720λ

Константа равна нулю, так как матрица является сингулярной, а коэффициент при третьей степени равен 34, так как матрица магическая.

Оперция «матричное деление» требует специальных комментариев. Если A является обращаемой квадратной матрицей, а b - вектор-столбец или вектор-строка соответственно, тогда x = A\b является решением уравнения Ax = b, а x = b/A является решением уравнения xA = b. Если A - квадратная матрица, то при левом делении для факторизации используется метод исключения Гаусса и эта факторизация позволяет решить уравнение Ax = b. Если матрица не квадратная, то для ее факторизации используется метод ортогонализации Хаусхолдера c ведущим столбцом, а приведенная матрица используется для решения недо- или переопределенной системы уравнений в смысле наименьших квадратов. Правое деление определяется в терминах левого деления по формуле b/A = (A'\b') '.

 

Массивы

Для поэлементного выполнения операций умножения, деления и возведения в сте­пень (т.е. для операций, выполняемых над массивами, а не над матрицами) применяются комбинированные знаки (точка и знак операции). Например, если за матрицей стоит знак (^), то она возводится в степень, а комбинация (.^) означает возведение в степень каждого элемента матрицы (массива).

Операции над массивами полезны для создания таблиц. Пусть n - это вектор-столбец

n = (0:9)';

Тогда

pows = [n n.^2 2.^n]

создает таблицу квадратов и степеней двойки.

Элементарные математические функции работают с массивами поэлементно. Так

Format short g

х = (1:0.1:2)';

logs = [x log10(x)]

создает таблицу логарифмов.

 

Логические операции

Операторы отношения и логические операторы, а также соответствующие им команды позволяют проводить сравнения массивов одинакового размера. Результа­том таких операций являются матрицы из нулей и единиц, причем единица озна­чает истинность, а нуль - ложь.

 

 

Операции отношения

 

Символ	Назначение	Имя функции
<	Меньше	lt
>=	Больше или равно	ge
>	Больше	gt
<=	Меньше или равно	le
==	Равно	eq
~=	Не равно	ne

 

При попытке сравнения векторов или матриц различной размерности будет выве­дено сообщение об ошибке. При сравнении скаляра с матрицей сначала из скаляр­ной переменной создается матрица нужного размера, и уже затем происходит срав­нение.

Операции (==, ~=) проводят сравнение вещественных и мнимых частей комплекс­ных чисел, а операции (>, <, >=, <=) - только вещественных частей.

 

Логические поэлементные операции

 

Символ	Назначение	Имя команды
&	Логическое «и»	and
|	Логическое «или»	or
~	Отрицание	not

Для логических операций ненулевое число отождествляется с единицей. Приведем примеры:

■

a = [1 2; 3 4]; % ввод матрицы

b = 2; % ввод скаляра

c = a>b % результат сравнения - матрица

с =

0 0

1 1

a ~= c % сравнение матриц - матрица

ans =

1 1

1 1

Логические операции можно записывать в виде функций. Так, последнее сравне­ние представимо в виде:

ne (a,c) % функция сравнения матриц

Необходимость логических операций возникает, например, в условных операто­рах языка М ATLAB. При этом арифметические операции всегда имеют приоритет по отношению к логическим.

Замечание 1. Если операнды – скаляры, то вместо поэлементных операций & и | предпочтительней пользоваться так называемыми «краткими» операциями && (И) и || (ИЛИ) соответственно. Их польза состоит в том, что если значение всего выражения можно оценить на основании лишь первого операнда, то второй не вычисляется. Например, в следующей строчке, пользуясь операцией && вместо &, мы можем избежать вывода на дисплей предупреждения о делении на нуль, если b=0:

p=2; q=0; x = (q ~= 0) && (p/q > 18.5)

А в следующем примере можно избежать ошибочной ситуации, если файл myfun.m не обнаружен:

comp = (exist('myfun.m') == 2) && (myfun(x) >= y).

Замечание 2. Когда операции & и | осуществляются не самостоятельно, а внутри логических операторов if и while, то они выполняются в порядке “кратких” (как && и ||), но по-прежнему оставаясь поэлементными.

С учётом логических операций общая таблица приоритетов в порядке убывания выглядит так:

1. Скобки ()

2. Транспонирование (.'), возведение в степень (.^), комплексно-сопряжённое транспонирование ('), матричное возведение в степень (^).

3. Унарный плюс (+), унарный минус(-), логическое отрицание (~).

4. Умножение (.*), правое деление (./), левое деление (.\), матричное умножение (*), матричное правое деление (/),матричное левое деление (\).

5. Сложение (+), вычитание (-).

6. Оператор двоеточие (:).

7. Меньше (<), меньше или равно (<=), больше (>), больше или равно (>=), равно (==), не равно (~=).

8. Поэлементное И (&).

9. Поэлементное ИЛИ (|).

10. “Краткое” И (&&)

11. “Краткое” ИЛИ (||)

 

Функции, возвращающие значения логического типа

Элементарные логические операции дополнены набором функций МATLAB, по­зволяющих проверить для матриц некоторые условия. Проверка для матриц проводится по столбцам, при этом функция возвращает вектор-строку. Результатом проверки для вектора являет­ся число. Функции вида is* осуществляют поэлементные проверки в массивах и чаще всего возвращают скаляр.

 

 

Некоторые команды проверки и сравнения

Имя	Назначение
find	Поиск значений согласно заданному условию; определение индексов
all	Проверка того, что все элементы не равны нулю
any	Проверка того, что хотя бы один элемент не равен нулю
isempty	Выявление пустого массива
isequal	Проверка равенства матриц (поэлементно, ответ – скаляр)
issparse	Проверка матрицы на разреженность
nonzeros	Вывод ненулевых элементов массива
isfinite	Выявление ограниченных элементов массива
isnumeric	Проверка, является ли массив числовым
isinf	Выявление бесконечных элементов массива
isnan	Выявление элементов нечислового типа
isletter	Проверка на символ
isstr	Проверка на строковую переменную
isglobal	Проверка на глобальную переменную
strcmp	Сравнение двух строк

 

Проиллюстрируем некоторые из этих команд на примерах.

Проверим массив с на наличие ненулевых элементов:

Any(c')

ans =

0 1

Ряд функций дает возможность выявить пустую переменную (isempty), идентич­ность матриц (isequal), ответить, числовой ли это массив (isnumeric):

[islogical(c) isnumeric(c) isempty([]) isempty(c) isequal(a,c)]

ans =

1 0 1 0 0

Команда find возвращает индексы элементов массива, удовлетворя­ющих некоторому условию. Например, для массива с, полученного ранее, команда поиска эле­ментов, тождественно равных единице, выведет:

d=find(c==1)

d =

Заметим, что результат содержит ссылки на два единичных элемента массива с, при этом используется одномерная индексация. Напомним, что матричные дан­ные размещаются в памяти последовательно по столбцам.

 

Логическая индексация

Результатом выполнения логических операторов и операторов сравне­ния являются массивы логического типа данных, в которых каждый элемент занимает 1 байт памяти. Логические вектора, созданные таким образом, могут быть использованы для ссылки на подмассивы. Предположим, что X обыкновенная матрица и L матрица того же размера, но содержащая результаты логических операций. Тогда X(L) задает те элементы X, для которых соответствующие элементы L - ненулевые.

 

Пусть имеетcя следующий набор данных.

x = [2.1 1.7 1.6 1.5 NaN 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8];

NaN - это метка для недостающего наблюдения, как например ошибка при ответе на вопрос анкеты. Для того, чтобы yбpaть метку, следует использовать функцию isfinite(x),которая является истиной для всех конечных числен­ных значений и ложью для NaN и Inf (можно воспользоваться и функцией isnan).

x = x(isfinite(x))

х =

2.1 1.7 1.6 1.5 1.9 1.8 1.5 5.1 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8

Сейчас осталась одна наблюдаемая величина, 5.1, заметно отличающаяся от ос­тальных, - это выброс. Последующие действия устраняют выбросы, в данном случае те элементы, для которых среднеквадратичное отклонение более чем в три раза отличается от среднего.

x = x(abs(x-mean(x)) <= 3*std(x))

х =

2.1 1.7 1.6 1.5 1.9 1.8 1.5 1.8 1.4 2.2 1.6 1.8

Приведем еще пример выделения нужных данных из массива. Рассмотрим задачу нахождения простых чисел в магическом квадрате. В MATLAB имеется команда isprime, проверяющая число на простоту:

A = magic(4);

k = find(isprime(A))'

k =

2 5 6 7 9 13

Покажем эти числа, как вектор-строку в порядке, определенном функцией.

A (k)

ans =

5 2 11 7 3 13

Если использовать k как индекс с левой стороны в операторе присваивания, то матричная структура сохранится:

A(k) = NaN

А =

16 NaN NaN NaN

NaN NaN 10 8

9 NaN 6 12

4 14 15 1