Для произвольного периода разложения 
, где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:
Если 
, то получаются формулы промежутка 
, с которых мы начинали.
Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:
Пример 4
Разложить функцию 
в ряд Фурье и построить график суммы.
Решение: фактически аналог Примера № 3 с разрывом 1-го рода в точке 
. В данной задаче период разложения 
, полупериод 
. Функция определена только на полуинтервале 
, но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.
Разложим функцию в ряд Фурье:
Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
1) Первый интеграл распишу максимально подробно:
2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:
Второй интеграл берём по частям:
На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой 
открываем продолжение решения?
Во-первых, не теряем первый интеграл 
, где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала. Во-вторых, не забываем злополучную константу 
перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы 
. Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.
Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.
Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)
|
|
3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:
Интегрируем по частям:
Подставим найдённые коэффициенты Фурье 
в формулу 
, не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:
Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале 
строим прямую 
, а на интервале 
– прямую 
. При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва 
и «тиражируем» график на соседние периоды:
На «стыках» периодов 
сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва 
.
Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах 
Ответ: 
Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: 
. Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.
На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.
|
|
А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:
Пример 5
Разложить функцию 
в ряд Фурье на промежутке 
и построить график суммы ряда.
В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример № 2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.